参数估计

1. 基本概念

\quad总体：与研究问题相关的个体的全体构成的集合，亦成为"母体"。

\quad样本：等概率随机的从总体中抽取的部分个体，所抽取的个体独立同分布。

\quad统计量：完全由样本决定的量，不依赖于总体分布中所包含的未知参数。
\quad如{X1,X2,⋯ ,Xn}\{X_1,X_2,\cdots,X_n\}{X1​,X2​,⋯,Xn​}是从正太分布$N(\mu ,{\sigma }^2)$抽取的样本，$\bar{X}=(X_1+\cdots +X_n)/n$为统计量，而$\bar{X}-\mu$为非统计量。

\quad常用统计量：
\quad\quad\quad样本均值：$\bar{X}=\frac{X_1+X_2+\cdots +X_n}{n}$

\quad\quad\quad样本方差：$S^2=\frac{{\sum }_{i=1}^n(X_i-\bar{X}{)}^2}{n-1}$

\quad\quad\quad$k$阶样本原点矩：$a_k=\frac{{\sum }_{i=1}^n{X}_i^k}{n}$

\quad\quad\quad$k$阶样本中心矩：$m_k=\frac{{\sum }_{i=1}^n(X_i-\bar{X}{)}^k}{n}=\frac{n}{n-1}{S}^2$

2. 点估计

2.1 问题描述

2.2 矩估计

\quad极大似然估计是一种统计方法，它用来求一个样本集的相关概率密度函数的参数。"似然"可理解为"样本可能性"，即极大样本可能性估计。

极大似然估计提供了一种通过观察数据评估模型参数的方法，即通过观察数据估计已知模型（概率密度）的参数。对于特定样本集，存在模型参数$\theta$使得所有样本同时出现的概率最大。

1、所选样本集反应数据的真实分布；
2、样本集中所有样本独立同分布；