排列组合

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#概率论

1. 排列组合公式

$\quad$ 排列与组合二者的区别，排列计较次序而组合不计序。
$\quad$ $从 n$ 个不同物件随机取 $r$ 个物件，记排列数和组合数分别为 $A_n^r$ 和 $C_n^r$ ，则：
$\begin{aligned} & A_n^r=n(n-1)\cdots(n-r-1)=\frac{n!}{(n-r)!} \\ & C_n^r=\frac{A_n^r}{r!}=\frac{n!}{r!(n-r)!} \end{aligned}$

$\quad$ 注: $Anr(n≥r≥1)A_n^r(n\geq r \geq 1)$ ， $Cnr(n≥r≥0)C_n^r(n\geq r \geq 0)$ ， $0! = 1$ ， $C_n^0=1$

2. 二项式及公式推广

$\quad$ 二项式展开公式为：
$(a+b)n=∑i=0nCniaibn−i(a+b)^n=\sum_{i=0}^n C_n^ia^ib^{n-i}$

$\quad$ 系数 $C_n^r$ 常称为二项式系数。由 $(a+b)n=(a+b)⋯(a+b)⎵n(a+b)^n=\underbrace{(a+b)\cdots(a+b)}_{n}$ ，若独立 $n$ 次实验从 ${a，b\}$ 中取数，则有 $C_n^i$ 种情况取到 $i$ 个 $a$ 、 $n - i$ 个 $b$ ，故 $a^ib^{n-i}$ 项的系数为 $C_n^i$ 。

$\quad$ (1) $∑i=0nCni=2n\sum_{i=0}^n C_n^i=2^n$

$\quad\quad$ 当 $a = b = 1$ 时， $(a+b)n=2n=∑i=0nCni(a+b)^n=2^n=\sum_{i=0}^n C_n^i$ ；

$\quad$ (2) $Cm+nk=∑i=0kCmiCnk−iC_{m+n}^k=\sum_{i=0}^kC_m^iC_n^{k-i}$

$\quad\quad$ 因为 $1+x)^{m+n}=(1+x)^m(1+x)^n$ ，即 $∑j=0m+nCm+njxj=(∑j=0mCmjxj)⋅(∑j=0nCnjxj)\sum_{j=0}^{m+n}C_{m+n}^jx_j=(\sum_{j=0}^mC_m^jx_j)\cdot(\sum_{j=0}^nC_n^jx_j)$ ，由等式两边同幂项系数相同知 $Cm+nk=∑i=0kCmiCnk−iC_{m+n}^k=\sum_{i=0}^kC_m^iC_n^{k-i}$ 。

3. 应用举例

$\quad$ (1) 甲乙比赛胜利概率分别为 $p 、 1 - p$ ，n场比赛中甲赢m场的概率:： $C_n^mp^m(1-p)^{n-m}$ ；

$\quad$ (2) 箱子含 $n$ 个白球、 $m$ 个红球，从中随机取 $k$ 球，恰好取到 $k^{'}$ 个红球（ $0≤k≤m0\leq k \leq m$ ）的概率：

$\quad\quad$ - 先从红球中抽 $k^{'}$ 个红球，共 $Cmk′C_m^{k'}$ ，再从白球中抽 $k - k^{'}$ 个白球，共 $Cnk−k′C_n^{k-k'}$ ;

$\quad\quad$ - 从 $n + m$ 个球中抽 $k$ 个球，共 $C_{n+m}^k$ ，故 $P=Cmk′Cnk−k′/Cn+mkP=C_m^{k'}C_n^{k-k'}/C_{n+m}^k$ ；

$\quad$ (3) 将 $n$ 个不同物品分为 $k$ 堆，各堆物品数为 $r1,⋯ ,rkr_1,\cdots, r_k$ ，总分法： $Cnr1Cn−r1r2⋯Cn−r1−⋯−rk−1rk=n!/(r1!⋯rk!)C_n^{r_1}C_{n-{r_1}}^{r_2} \cdots C_{n-r_1-\cdots-r_{k-1}}^{r_k}=n!/(r_1! \cdots r_k!)$ ;