矩阵理论

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#矩阵理论

本文详细解析了多元函数对向量的微分概念，包括梯度的定义及计算方法，重点介绍了几种常见矩阵函数的微分计算，如线性函数、二次函数等，适用于深入理解高等数学中微积分的高级应用。

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1、函数对向量的微分

$\quad$ 定义多元函数 $f(x)=f(x_1, x_2, .., x_n)$ , $x∈x\in$ $R^n$ ，称列向量
$(\dfrac{\partial f(x)}{\partial x_1}, \dfrac{\partial f(x)}{\partial x_2}, \cdots, \dfrac{\partial f(x)}{\partial x_n} )^T$

为函数 $f (x)$ 对向量 $x$ 的微分或梯度，记为 $df(x)dx\dfrac{df(x)}{dx}$ 或 $∇xf(x)\nabla_xf(x)$ ，也记为 $grad f(x)grad\,f(x)$ 或 $∇f(x)\nabla f(x)$ 。

$\quad$ （1） $f (x) = A x$ ，则 $∇f(x)=AT\nabla f(x)=A^T$ ，下式中 $αi\alpha_i$ 为列向量。
$\begin{aligned} &f(x)=(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n)(x_1,x_2,\cdots,x_n)^T =\alpha_1x_1+\alpha_2x_2+\cdots+\alpha_nx_n \\\\ & \nabla f(x)=(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n)^T=A^T \end{aligned}$
$\quad$ （2） $f(x)=x^TA$ ，则 $∇f(x)=A\nabla f(x)=A$ ，下式中 $αi\alpha_i$ 为行向量。
$\begin{aligned} &f(x)=(x_1,x_2,\cdots,x_n)(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n)^T =\alpha_1x_1+\alpha_2x_2+\cdots+\alpha_nx_n \\\\ &\nabla f(x)=(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n)^T=A \end{aligned}$
$\quad$ （3） $f(x)=y^TAx$ ，则 $∇f(x)=ATy\nabla f(x)=A^Ty$ 。

$\quad$ （4） $f(x)=x^TAx$ ，则 $∇f(x)=(AT+A)x\nabla f(x)=(A^T+A)x$ 。

$\quad\quad\quad$ 方法一：
$\begin{aligned} & \begin{aligned} f(x)&= \begin{pmatrix} x_1 & x_2 & \cdots & x_n \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix} \\&= (\sum_{i=1}^n x_ia_{i1},\sum_{i=1}^n x_ia_{i1},\cdots,\sum_{i=1}^n x_ia_{i1}) (x_1 ,x_2,\cdots,x_n^T)\\ &=\sum_{j=1}^n\sum_{i=1}^n x_i a_{ij} x_j \end{aligned} \\ &\nabla f(x)=(A+A^T)x \end{aligned}$