关于时间的不确定性推理

时间与不确定性

基本思想：按照自然的时序顺序对变量进行排序，按因果次数添加变量，记录每个时间片的观测预证据。

困难：变量集合是无界的，因为它需要包含全部时间片的状态与证据

Markov过程

一阶马尔科夫：当前状态只与上一个状态有关；
二阶马尔科夫：当前状态与上两个状态有关；
传感器模型：当前状态只与自己有关

马尔科夫过程中除了转移模型和传感器模型之外，还需要指定0时刻的先验概率$P(X_0)$, 一个稳态Markov过程的所有变量上的完整的联合概率分布为：
$$\begin{gathered} P(X_0,X_1,...,X_t,E_1,...,E_t) \\ =P(X_0)\prod P(X_i|X_{i-1})P(E_i|X_i) \end{gathered}$$
$P(E_i|X_i)$是传感器模型 $P(X_i|X_{i-1})$ 是转移模型

下面是一个例子：

这是一个一阶的Markov过程，通过这个把整个联合概率分布表示成上图的样子。

但是一阶Markov过程不精确，可以通过以下方式弥补：
1、提高Markov过程结数；
2、扩大状态变量集合

推理任务

• 滤波：$P(X_t|e_{1:t})$ ：一个信任状态 – 输入与其有关的决策过程，给定目前已有的证据，估计当前状态的后验概率分布
• 预测：$P(X_{t+1}|e_{1:t})$对所有的$k>0$ ： 给定目前为止的所有证据，计算未来状态的后验概率。
• 平滑：$P(X_k|e_{1:t})$对所有的$0\ge k<t$：给定目前已有的证据，估计过去某一状态的后验概率分布
• 最可能解释：给定观察序列，找到最可能生成这些观察结果的状态序列
  

滤波

目的：为了设计一个递归的状态估计算法
$P(X_{t+1}|e_{1:t+1})=f(e_{t+1},P(X_t|e_{1:t}))$ : 通过前一个状态得到的

$$\begin{gathered} P(X_{t+1}|e_{1:t+1}) \\ =P(X_{t+1}|e_{1:t},e_{t+1})(证据分解 \end{gathered}$$