算法学习（十五）

学习内容：

动态规划算法：每次决策依赖于当前状态，又随即引起状态的转移。一个决策序列就是在变化的状态中产生出来的，所以，这种多阶段最优化决策解决问题的过程就称为动态规划。
在查找有很多重叠子问题的情况的最优解有效。动态规划保存子问题的解，避免重复计算。

学习产出：

子序问题

动态规划

解决动态规划问题的关键是找到状态转移方程，这样就可以通过计算和存储子问题的解来解决最终问题。

LeetCode300 最长递增子序列

给你一个整数数组 nums ，找到其中最长严格递增子序列的长度。

子序列是由数组派生而来的序列，删除（或不删除）数组中的元素而不改变其余元素的顺序。例如，[3,6,2,7] 是数组 [0,3,1,6,2,2,7] 的子序列。

示例 1：

输入：nums = [10,9,2,5,3,7,101,18]
输出：4
解释：最长递增子序列是 [2,3,7,101]，因此长度为 4 。
         
来源：力扣（LeetCode）
链接：https://leetcode-cn.com/problems/longest-increasing-subsequence
著作权归领扣网络所有。商业转载请联系官方授权，非商业转载请注明出处。

题解

定义状态转移方程dp[i]表示i结尾的、最长子序列。对于每一个位置i，如果之前存在某个位置j所对应的数字小于位置i所对应的数字，则我们可以获得i结尾，长度为dp[j]+1的子序列

代码（python）

class Solution:
    def lengthOfLIS(self, nums: List[int]) -> int:
        maxlength,n = 0,len(nums)
        if n <= 1: return n
        dp = [1]*n
        for i in range(n):
            for j in range(i):
                if nums[i] > nums[j]:
                    dp[i] = max(dp[i] , dp[j]+1)
            maxlength = max(maxlength,dp[i])
        return maxlength
        

该方法的时间复杂度为O（n^2）,可以进行优化，采用二分法进行优化，将dp数组中dp[k]存储长度为k+1的最长递增子序列的最后一个数字。我们每遍历一个位置i，如果其对应数字大于dp数组中所有数字值，那么将其放在dp尾部，表示最长序列长度+1.如果发现dp数组比数字a大，比数字b小，则将b更新为此数字，使得dp数组永远递增。时间复杂度为O（nlogn）

class Solution:
    def lengthOfLIS(self, nums: List[int]) -> int:
        n = len(nums)
        if n <= 1: return n
        dp = []
        dp.append(nums[0])
        for i in range(1,n):
            if dp[len(dp)-1] <nums[i]:
                dp.append(nums[i])
            else:
                for j,k in enumerate(dp):
                    if k >= nums[i]:
                        break
                dp[j] = nums[i]
        return len(dp)
        

LeetCode1143 最长公共子序列

给定两个字符串 text1 和 text2，返回这两个字符串的最长公共子序列的长度。

一个字符串的 子序列 是指这样一个新的字符串：它是由原字符串在不改变字符的相对顺序的情况下删除某些字符（也可以不删除任何字符）后组成的新字符串。
例如，“ace” 是 “abcde” 的子序列，但 “aec” 不是 “abcde” 的子序列。两个字符串的「公共子序列」是这两个字符串所共同拥有的子序列。

若这两个字符串没有公共子序列，则返回 0。

示例 1:

输入：text1 = "abcde", text2 = "ace" 
输出：3  
解释：最长公共子序列是 "ace"，它的长度为 3

来源：力扣（LeetCode）
链接：https://leetcode-cn.com/problems/longest-common-subsequence
著作权归领扣网络所有。商业转载请联系官方授权，非商业转载请注明出处。

    

题解

建立二维数组dp，其中dp[i][j[表示第一个字符串为位置i为止，到第二个字符位置j为止，最长的公共子序列长度

代码（python）

class Solution:
    def longestCommonSubsequence(self, text1: str, text2: str) -> int:
        m,n = len(text1),len(text2)
        dp = [[0]*(n+1) for _ in range(m+1)]
        for i in range(1,m+1):
            for j in range(1,n+1):
                if text1[i-1] == text2[j-1]:
                    dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1
                else:
                    dp[i][j] = max(dp[i-1][j] , dp[i][j-1])
        return dp[m][n]