「APIO2010」特别行动队 - 斜率优化Dp

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题目描述

你有一支由 $n$ 名预备役士兵组成的部队，士兵从1到 $n$ 编号，要将他们拆分成若干特别行动队调入战场。出于默契考虑，同一支特别行动队中队员的编号应该连续，即为形如 $(i, i + 1, . . ., i + k)$ 的序列。

编号为 $i$ 的士兵的初始战斗力为xi，一支特别运动队的初始战斗力 $x$ 为队内士兵初始战斗力之和，即 $x=x_i+x_{i+1}+...+x_{i+k}$ 。

通过长期的观察，你总结出一支特别行动队的初始战斗力x将按如下经验公式修正为 $x^{'}$ ： $x′=ax2+bx+cx'=ax^2+bx+c$ ，其中 $a, b, c$ 是已知的系数 $(a < 0)$ 。

作为部队统帅，现在你要为这支部队进行编队，使得所有特别行动队修正后战斗力之和最大。试求出这个最大和。

例如，你有4名士兵， $x_1=2,x_2=2,x_3=3,x_4=4$ 。经验公式中的参数为 $a = - 1, b = 10, c = - 20$ 。此时，最佳方案是将士兵组成3个特别行动队：第一队包含士兵1和士兵2，第二队包含士兵3，第三队包含士兵4。特别行动队的初始战斗力分别为4，3，4，修正后的战斗力分别为4，1，4。修正后的战斗力和为9，没有其它方案能使修正后的战斗力和更大。

分析

根据题意，可以容易得到朴素的状态转移方程：

$f[i]=\max_{0\le j<i}\{f[j]+a\times(sum[i]-sum[j])^2+b\times(sum[i]-sum[j])+c\}$

其中 $s u m$ 表示前缀和。将其展开，会得到 $i, j$ 的乘积项，因此想到斜率优化Dp。

对于j,k，若在j处的决策比k处的更优，则：

$\begin{matrix} f[j]+a\times(sum[i]-sum[j])^2+b\times(sum[i]-sum[j])+c>\\ f[k]+a\times(sum[i]-sum[k])^2+b\times(sum[i]-sum[k])+c \end{matrix}$

化简可得

$f[j]-f[k]+a\times(sum[j]^2-sum[k]^2)+b\times(sum[k]-sum[j])>2\times a\times sum[i]\times(sum[j]-sum[k])$

所以维护一个单调队列，每次将队首和队首+1进行比较，若不满足上式，则将队首出队，直到满足，此时即为最优的决策。再更新当前的最优值。然后将队尾-1与队尾和队尾与 $i$ 进行比较，若不满足，则队尾出队，直到满足，此时将 $i$ 加入队列中。最后输出 $f [n]$ 即可。

代码

#include <algorithm>
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#define pp(x) ((x)*(x))
using namespace std;
long long f[1000001],n;
long long a,b,c,sum[1000001];
long long head,tail,q[1000005];
int main() {
	scanf("%lld%lld%lld%lld",&n,&a,&b,&c);
	for (int i=1;i<=n;i++) {
		long long t;
		scanf("%lld",&t);
		sum[i]=sum[i-1]+t;
	}
	memset(f,-0x3f,sizeof(f));
	f[0]=0;
	head=tail=1;
	q[head]=0;
	for (int i=1;i<=n;i++) {
		while (head<tail&&f[q[head]]-f[q[head+1]]+a*(pp(sum[q[head]])-pp(sum[q[head+1]]))+b*(sum[q[head+1]]-sum[q[head]])<=2*a*sum[i]*(sum[q[head]]-sum[q[head+1]])) head++;
		f[i]=f[q[head]]+a*pp(sum[i]-sum[q[head]])+b*(sum[i]-sum[q[head]])+c;
		while (head<tail&&(f[q[tail-1]]-f[q[tail]]+a*(pp(sum[q[tail-1]])-pp(sum[q[tail]]))+b*(sum[q[tail-1]]-sum[q[tail]]))*(sum[q[tail]]-sum[i])<=(f[q[tail]]-f[i]+a*(sum[q[tail]]*sum[q[tail]]-sum[i]*sum[i])+b*(sum[q[tail]]-sum[i]))*(sum[q[tail-1]]-sum[q[tail]])) tail--;
		q[++tail]=i;
	}
	printf("%lld",f[n]);
    return 0;
}