「洛谷P2833」 等式 - 数论

题目概述

题目描述

给出$a,b,c,x1,x2,y1,y2$，求满足$ax+by+c=0$，且$x\in [x1,x2],y\in [y1,y2]$的整数解有多少对。

输入格式

第一行包含7个整数，$a,b,c,x1,x2,y1,y2$，整数间用空格隔开。

输出格式

输出整数解有多少对。

数据范围

对于30%的数据，$a,b,c,x1,x2,y1,y2$的绝对值不超过1000。

对于100%的数据，$a,b,c,x1,x2,y1,y2$的绝对值不超过$10^8$。

分析

首先$ax+by+c=0$可以化为$ax+by=-c$，这是不是很熟悉？没错，用Exgcd就可以求出一个特解$(x_0,y_0)$。先判断有无解，即$(-c)\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}gcd(a,b)$是否等于0，等于0有解，否则无解。至于通解，如下：

$$\{\begin{array}{l}x=x_0+t\times \frac{b}{d}\\ \\ y=y_0-t\times \frac{a}{d}\end{array}$$

其中$t$为参数。然后可以根据通解，分别求出$t$在$x$满足条件时的范围，在$y$满足条件时的范围，取交集即可。不过细节和特判挺多的，比如$a=0,b=0,c=0$时的情况，以及除法的精度损失等。的确是一道数论好题。

代码

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <queue>
using namespace std;
typedef long long LL;
LL a,b,c,xl,xr,yl,yr;
LL Exgcd(LL a,LL b,LL &x,LL &y) {
	if (b==0) {
		x=1;
		y=0;
		return a;
	}
	LL d=Exgcd(b,a%b,x,y);
	LL t=x;
	x=y;
	y=t-a/b*y;
	return d;
}
int main() {
	scanf("%lld%lld%lld%lld%lld%lld%lld",&a,&b,&c,&xl,&xr,&yl,&yr);
	if (xl>xr||yl>yr) {
		printf("0");
		return 0;
	}
	if (a==0&&b==0) {
		if (c!=0) printf("0");
		else printf("%lld",(xr-xl+1)*(yr-yl+1));
		return 0;
	}
	LL x,y,d,k;
	d=Exgcd(a,b,x,y);
	c=-c;
	k=c/d;
	x*=k;
	y*=k;
	if (c%d) {
		printf("0");
		return 0;
	}
	if (a==0) {
		if (yl<=y&&y<=yr) printf("1");
		else printf("0");
		return 0;
	}
	if (b==0) {
		if (xl<=x&&x<=xr) printf("1");
		else printf("0");
		return 0;
	}
	//通解 
	//x=x0+t*b/d
	//y=y0-t*a/d
	/*
		(xl-x0)*(d/b)<=t<=(xr-x0)*(d/b)
	*/
	/*
		(yl-y0)*(d/a)<=t<=t(yr-y0)*(d/a)
	*/
	LL t1l,t1r,t2l,t2r,tl,tr,bb,aa;
	bb=b/d;
	aa=a/d;
	t1l=(xl-x)/bb;
	t1r=(xr-x)/bb;
	t2l=(y-yl)/aa;
	t2r=(y-yr)/aa;
	if (x+t1l*bb<xl) t1l++;//除法的精度损失 
	else if (x+t1l*bb>xr) t1l--;
	if (x+t1r*bb<xl) t1r++;
	else if (x+t1r*bb>xr) t1r--;
	if (y-t2l*aa<yl) t2l--;
	else if (y-t2l*aa>yr) t2l++;
	if (y-t2r*aa<yl) t2r--;
	else if (y-t2r*aa>yr) t2r++;
	if ((x+t1l*bb<xl)||(x+t1l*bb>xr)
	||(x+t1r*bb<xl)||(x+t1r*bb>xr)
	||(y-t2l*aa<yl)||(y-t2l*aa>yr)
	||(y-t2r*aa<yl)||(y-t2r*aa>yr)) {
		printf("0");
		return 0;
	}
	if (t1l>t1r) swap(t1l,t1r);
	if (t2l>t2r) swap(t2l,t2r);
	tl=max(t1l,t2l);
	tr=min(t1r,t2r);
	if (tl>tr) printf("0");
	else printf("%lld",tr-tl+1);
	return 0;
}