「BSOJ1030」最大奖励 - 斜率优化Dp

BSOI生日挑战：优化DP算法求最大奖励

最新推荐文章于 2024-10-01 18:52:56 发布

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本文介绍了一种针对特定问题的DP算法优化方案，通过斜率优化和单调队列来降低时间复杂度，从O(n^2)优化至更高效的级别。在庆祝BSOI生日的背景下，提出了一种奖励机制，鼓励参与者解决问题并获得最大奖励。通过分析问题特性，采用DP策略并结合斜率优化技巧，实现了算法效率的显著提升。

题目描述

为庆祝BSOI生日及鼓励广大OIER多切题，管理员xinyue决定推出一项奖励措施：他按照每道题目的难度给其赋了一个分值，第一次AC这道题目的时候作者会得到这道题目的分值。假设大牛叉叉嗯AC了n(n <= 100,000)道题目，它们的分值依次为a1,a2,a3,...,an。叉叉嗯就可以按照顺序把它们分成若干段提交给xinyue，假设某一段从i+1到j，它们的分值和为x，那么叉叉嗯可以得到的奖励是x*i-T，其中-T是因为xinyue嫌你提交的太多，他比较烦。叉叉嗯大牛希望得到的奖励之和最大，但她已经AC了太多题目，懒得再编程了。这个问题就交给你，大牛希望你能好好解决。

分析

考虑Dp。设 $f[i]$ 为前i道题获得的最大奖励，则

$f[i]=\max_{0\le j<i}\{f[j]+(sum[i]-sum[j])\times i-t\}$

时间复杂度为O(n^2)，展开其中会有ij的乘积项，考虑斜率优化Dp。

对于 $j,k,0\le j<k<i$ ，若在j的决策优于k的决策，则有如下不等式：

$f[j]+(sum[i]-sum[j])\times i>f[k]+(sum[i]-sum[k])\times i$ ，移项得：

$\dfrac{((f[j]-sum[j]*j)-(f[k]-sum[k]*k)}{k-j}\le sum[i]$

所以，维护一个特殊的单调队列维护即可。

代码

#include <cstdio>
#include <iostream>
using namespace std;
int n,t,a[100005];
long long sum[100005],f[100005],q[100005],head,tail;
long long read() {
	long long s=0;
	char ch=getchar();
	int f=1;
	while (ch<'0'||ch>'9') f=(ch=='-'?-1:1),ch=getchar();
	while (ch>='0'&&ch<='9') s=s*10+ch-'0',ch=getchar();
	return s*f;
}
void write(long long s) {
	if (s<0) {
		putchar('-');
		write(-s);
		return;
	}
	if (s>9) write(s/10);
	putchar(s%10+'0');
}
long double s(int j,int k) {
	return ((f[j]-sum[j]*j)-(f[k]-sum[k]*k))/((long double)(k-j));
}
int main() {
	n=read();
	t=read();
	for (int i=1;i<=n;i++) {
		a[i]=read();
		sum[i]=sum[i-1]+a[i];
	}
	f[0]=0;
	head=tail=1;
	q[head]=0;
	for (int i=1;i<=n;i++) {
		while (head<tail&&(s(q[head],q[head+1])<=sum[i])) head++;
		f[i]=f[q[head]]+(sum[i]-sum[q[head]])*q[head]-t;
		while (head<tail&&s(q[tail-1],q[tail])>=s(q[tail],i)) tail--;
		q[++tail]=i;
	}
	write(f[n]);
	return 0;
}