【动态规划】最长公共子序列与最长公共子串

1. 问题描述

子串应该比较好理解，至于什么是子序列，这里给出一个例子：有两个母串

• cnblogs
• belong

比如序列bo, bg, lg在母串cnblogs与belong中都出现过并且出现顺序与母串保持一致，我们将其称为公共子序列。最长公共子序列（Longest Common Subsequence, LCS），顾名思义，是指在所有的子序列中最长的那一个。子串是要求更严格的一种子序列，要求在母串中连续地出现。在上述例子的中，最长公共子序列为blog（cnblogs,belong），最长公共子串为lo（cnblogs, belong）。

2. 求解算法

对于母串 X=<x1,x2,⋯,xm>

, Y=<y1,y2,⋯,yn>

，求LCS与最长公共子串。

暴力解法

假设 m<n

， 对于母串 X ，我们可以暴力找出 2m 个子序列，然后依次在母串 Y 中匹配，算法的时间复杂度会达到指数级 O(n∗2m)

。显然，暴力求解不太适用于此类问题。

动态规划

假设 Z=<z1,z2,⋯,zk>

是 X 与 Y

的LCS， 我们观察到

• 如果 xm=yn

，则 zk=xm=yn ，有 Zk−1 是 Xm−1 与 Yn−1

• 的LCS；
• 如果 xm≠yn ，则 Zk 是 Xm 与 Yn−1 的LCS，或者是 Xm−1 与 Yn
  • 的LCS。

  因此，求解LCS的问题则变成递归求解的两个子问题。但是，上述的递归求解的办法中，重复的子问题多，效率低下。改进的办法——用空间换时间，用数组保存中间状态，方便后面的计算。这就是动态规划（DP)的核心思想了。

  DP求解LCS

  用二维数组c[i][j]记录串 x1x2⋯xi

  与 y1y2⋯yj 的LCS长度，则可得到状态转移方程
  
  c[i,j]=⎧⎩⎨⎪⎪0c[i−1,j−1]+1max(c[i,j−1],c[i−1,j])i=0 or j=0i,j>0 and  xi=yji,j>0 and xi≠yj

  代码实现

  public static int lcs(String str1, String str2) {
      int len1 = str1.length();
      int len2 = str2.length();
      int c[][] = new int[len1+1][len2+1];
      for (int i = 0; i <= len1; i++) {
          for( int j = 0; j <= len2; j++) {
              if(i == 0 || j == 0) {
                  c[i][j] = 0;
              } else if (str1.charAt(i-1) == str2.charAt(j-1)) {
                  c[i][j] = c[i-1][j-1] + 1;
              } else {
                  c[i][j] = max(c[i - 1][j], c[i][j - 1]);
              }
          }
      }
      return c[len1][len2];
  }

  DP求解最长公共子串

  前面提到了子串是一种特殊的子序列，因此同样可以用DP来解决。定义数组的存储含义对于后面推导转移方程显得尤为重要，糟糕的数组定义会导致异常繁杂的转移方程。考虑到子串的连续性，将二维数组 c[i,j]

  用来记录具有这样特点的子串——结尾为母串 x1x2⋯xi 与 y1y2⋯yj

  的结尾——的长度。

  得到转移方程：
  

  c[i,j]=⎧⎩⎨⎪⎪0c[i−1,j−1]+10i=0 or j=0xi=yjxi≠yj

  最长公共子串的长度为 max(c[i,j]), i∈{1,⋯,m},j∈{1,⋯,n}

  。

  代码实现

  public static int lcs(String str1, String str2) {
      int len1 = str1.length();
      int len2 = str2.length();
      int result = 0;     //记录最长公共子串长度
      int c[][] = new int[len1+1][len2+1];
      for (int i = 0; i <= len1; i++) {
          for( int j = 0; j <= len2; j++) {
              if(i == 0 || j == 0) {
                  c[i][j] = 0;
              } else if (str1.charAt(i-1) == str2.charAt(j-1)) {
                  c[i][j] = c[i-1][j-1] + 1;
                  result = max(c[i][j], result);
              } else {
                  c[i][j] = 0;
              }
          }
      }
      return result;
  }

原文链接:http://www.cnblogs.com/en-heng/p/3963803.html