芝加哥大学2016北美邀请赛Problem I：Tourists（树链剖分板题）

题面

https://codeforces.ml/gym/101002

题意

给一棵树，统计每个点到点的编号时此点编号倍数的点的距离和。

题解

直接暴力把树解剖了。

复杂度

点i的倍数有n/i个。所以总的点对数是$$tot=\sum _{i=1}^{n}n/i=n\sum _{i=1}^n\frac{1}{i}$$
这个明显是个调和级数。调和级数的发散公式：$$\sum _{n=1}^k\frac{1}{n}=\ln k+\gamma +{\epsilon }_k$$
其中$\gamma$是欧拉-马歇罗尼常数，而$\epsilon$约等于$\frac{1}{2k}$，并且随着 k趋于正无穷而趋于 0。这个结果由欧拉给出。
竖剖求点对的距离的复杂度是log的。所以$$T=nlo{g}_{2}n\sum _{i=1}^n\frac{1}{i}=nlo{g}^{2}n$$
n是2e5，以CF强大的服务器是能卡过的。

AC代码可以当板子

其中线段树查询重链别的信息的板子也在。

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<vector>
using namespace std;
const int NN=200100;
const int oo=2e9+10;
//int sum[NN*4],maxn[NN*4];
//int a[NN],w[NN];
int top[NN],siz[NN],son[NN],fath[NN],deep[NN];
vector <int> con[NN];
int cnt,pos[NN];
// void up(int cur){
// 	sum[cur]=sum[cur<<1]+sum[cur<<1|1];
// 	maxn[cur]=max(maxn[cur<<1],maxn[cur<<1|1]);
// }
void dfs1(int cur,int fa){
	deep[cur]=deep[fa]+1;
	siz[cur]=1;
	son[cur]=0;
	fath[cur]=fa;
	int maxnn=0;
	int numson=con[cur].size();
	for(int i=0;i<numson;i++){
		int nex=con[cur][i];
		if(nex!=fa){
			dfs1(nex,cur);
			siz[cur]+=siz[nex];
			if(siz[nex]>maxnn){
				maxnn=siz[nex];
				son[cur]=nex;
			}
		}
	}
}
void dfs2(int cur,int fa,int k){
	top[cur]=k;
	pos[cur]=++cnt;
	//a[pos[cur]]=w[cur];
	if(son[cur])dfs2(son[cur],cur,k);
	int numson=con[cur].size();
	for(int i=0;i<numson;i++){
		int nex=con[cur][i];
		if(nex!=fa&&nex!=son[cur]){
			dfs2(nex,cur,nex);
		}
	}
}
// void change(int cur,int l,int r,int po,int val){
// 	if(l==r){
// 		sum[cur]=val;
// 		maxn[cur]=val;
// 		return;
// 	}
// 	int mid=(l+r)>>1;
// 	if(po<=mid)change(cur<<1,l,mid,po,val);
// 	if(po>mid)change(cur<<1|1,mid+1,r,po,val);
// 	up(cur);
// }
// int ask_sum(int cur,int l,int r,int x,int y){
// 	if(x<=l&&r<=y){
// 		return sum[cur];
// 	}
// 	int mid=(l+r)>>1;
// 	int ans=0;
// 	if(x<=mid)ans+=ask_sum(cur<<1,l,mid,x,y);
// 	if(y>mid)ans+=ask_sum(cur<<1|1,mid+1,r,x,y);
// 	return ans;
// }
// int ask_max(int cur,int l,int r,int x,int y){
// 	if(x<=l&&r<=y){
// 		return maxn[cur];
// 	}
// 	int ans=-oo;
// 	int mid=(l+r)>>1;
// 	if(x<=mid)ans=max(ans,ask_max(cur<<1,l,mid,x,y));
// 	if(y>mid)ans=max(ans,ask_max(cur<<1|1,mid+1,r,x,y));
// 	return ans;
// }
int n,m;
int tree_len(int u,int v){
	int ans=0;
	while(top[u]!=top[v]){
		if(deep[top[u]]<deep[top[v]])swap(u,v);
		//ans=max(ans,ask_max(1,1,n,pos[top[u]],pos[u]) );
        ans+=pos[u]-pos[top[u]]+1;
		u=fath[top[u]];
	}
	if(deep[u]<deep[v])swap(u,v);
	ans+=pos[u]-pos[v]+1;
	return ans;
}
// int tree_sum(int u,int v){
// 	int ans=0;
// 	while(top[u]!=top[v]){
// 		if(deep[top[u]]<deep[top[v]])swap(u,v);
// 		ans+=ask_sum(1,1,n,pos[top[u]],pos[u]);
// 		u=fath[top[u]];	
// 	}
// 	if(deep[u]<deep[v])swap(u,v);
// 	ans+=ask_sum(1,1,n,pos[v],pos[u]);
// 	return ans;
// }
// void tree_change(int u,int val){
// 	change(1,1,n,pos[u],val);
// }
int main(){
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1;i<=n;i++)con[i].clear();
	//for(int i=1;i<=4*n;i++)maxn[i]=-oo;
	//for(int i=1;i<=4*n;i++)sum[i]=0;	
	for(int i=1;i<n;i++){
		int x,y;
		scanf("%d%d",&x,&y);
		con[x].push_back(y);
		con[y].push_back(x);
	}
	//for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",w+i);
	cnt=0;deep[0]=0;
	dfs1(1,0);
	dfs2(1,0,1);
	//for(int i=1;i<=n;i++)change(1,1,n,i,a[i]);
	//scanf("%d",&m);
	// for(int i=1;i<=m;i++){
	// 	char s[10];
	// 	scanf("%s",s);
	// 	if(s[0]=='C'){
	// 		int x,y;scanf("%d%d",&x,&y);
	// 		tree_change(x,y);
	// 	}
	// 	else if(s[1]=='S'){
	// 		int x,y;scanf("%d%d",&x,&y);
	// 		int ans=tree_sum(x,y);
	// 		printf("%d\n",ans);
	// 	}
	// 	else{
	// 		int x,y;scanf("%d%d",&x,&y);
	// 		int ans=tree_max(x,y);
	// 		printf("%d\n",ans);
	// 	}
	// }
    long long ans=0;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        int up=n/i;
        for(int k=2;k<=up;k++){
            ans+=tree_len(i,i*k);
        }
    }
    printf("%lld\n",ans);
	return 0;
}