矩阵行列式求法

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本文详细介绍了矩阵行列式的多种求解方法，包括拉普拉斯展开、交错和、上三角矩阵转换、高斯消元法及LU分解。通过对比不同方法的时间复杂度，帮助读者理解并选择合适的求解策略。

矩阵的行列式求法

行列式求法很多，下面是比较常见的几种。矩阵A的行列式记成

d e t (A)

拉普拉斯展开

根据行列式的代数余子式定义，矩阵按某行或某列展开： $\operatorname{det}(A)=\sum_{j=1}^{n}(-1)^{i+j} a_{i j} \operatorname{det}\left(A_{i j}\right)=\sum_{i=1}^{n}(-1)^{i+j} a_{i j} \operatorname{det}\left(A_{i j}\right)$
这个直接递归就能搞定，时间复杂度： $T (n) = T (n - 1) n + n$
这个复杂度迭代计算得到： $T(n)=\sum_{i=0}^{n-1}\frac{n!}{i!}=O(n*n!)$
复杂度过于骇人听闻，所以实际没人敢用。只适用于一些线性代数考试题。
核心代码：

int det_matrix(Matrix& mat, int row)
{
    if(row == 2)
    {
        double* arr = mat.get_mat();
        return arr[0 * row + 0] * arr[1 * row + 1] - arr[0 * row + 1] * arr[1 * row + 0];
    }
    else
    {
        double res = 0;
        double *vec = mat.get_mat();
        for(int i = 0; i < row; i++)
        {
            int k = 1;
            if(i % 2 == 1)
            {
                k = -1;
            }
            Matrix new_mat = remove_row_col(mat,1, i + 1);
            res += vec[i] * k * det(new_mat,row - 1);   
        }
        return res;
    }
}

交错和

这种方法是生成一个1-n的排列p，然后按这个排列选数累乘，按排列的逆序对数决定符号。显然一共n!项，每项连乘O(n)，复杂度还是O(n*n!)。连线性代数考试都不屑于用。

想办法变成上三角矩阵

上三角矩阵的行列式是主对角线元素的连乘，可以按第一列做拉普拉斯展开，数学归纳法证明。

经典高斯消元法

用第三类初等行变换把矩阵变成上三角阵，这样行列式是不变的。第三类初等行变换是把某行的k倍加到别的行上去。这个实际上是高斯消元。

LU分解

这个本质上还是高斯消元。因为把初等变换施加到单位矩阵E上，可以记录下变换操作。将原矩阵左乘这个记录矩阵就相当于对原矩阵做了初等行变换。这里大概描述LU分解的原理：
一个可逆矩阵A一定可以分解成 $A = L * U$
U是和A等价的上三角矩阵。
L是一个下三角矩阵，对主角线一定都是1，L与A向U变换的操作步骤有关。
很明显L和U的求法可以高斯消元，也可以直接求。具体另一篇博客会解释。