建立heap的复杂度和图的定长路径数量证明

一.建立堆的复杂度证明

建立堆采用自下而上逐渐调整的方法，伪代码：

考虑最大的交换次数：
设元素个数为$n=2^h-1$,其中h是树高。一个第i层的元素最多向下走h-i步。所以最大交换总次数是$$T=\sum _{i=0}^{h-1}{2}^i(h-(i+1))=h\sum _{i=0}^{h-1}{2}^i-\sum _{i=0}^{h-1}{2}^i(i+1)$$
前一项是个等比数列和，结果是$hn$；
后面那个把2看为自变量可以变成$$f(x)=\sum _{i=0}^{h-1}{x}^{i+1}$$在x=2时的导数。结果是$$(h-1)2^h+1$$;
两者相减即可得$$T=2^h-h-1=n-h$$
每一步时间时常数级别，所以时间复杂度O(n)。

二. 定长路径的条数证明

用数学归纳法即可。
设A为邻接矩阵，$A^n[i,j]$表示ij之间长度为n的路径条数。要证明$A^{n+1}[i,j]$表示ij之间路径长为n+1的路径条数。
$$A^{n+1}[i,j]=\sum _{k=1}^{k=n}{A}^n[i,k]\ast A[k,j]$$
长度为n+1的可以按路径上第n个节点分类，有n类。第n个节点为k的条数根据乘法原理就是$A^n[i,k]\ast A[k,j]$,在根据加法原理把所有n类加起来就是上面的式子。所以$A^{n+1}[i,j]$表示ij之间路径长为n+1的路径条数。