【组合数学】排列组合 ( 多重集组合数 | 所有元素重复度大于组合数 | 多重集组合数 推导 1 分割线推导 | 多重集组合数 推导 2 不定方程非负整数解个数推导 )

排列组合参考博客 :

• 【组合数学】基本计数原则 ( 加法原则 | 乘法原则 )
• 【组合数学】集合的排列组合问题示例 ( 排列 | 组合 | 圆排列 | 二项式定理 )
• 【组合数学】排列组合 ( 排列组合内容概要 | 选取问题 | 集合排列 | 集合组合 )
• 【组合数学】排列组合 ( 排列组合示例 )
• 【组合数学】排列组合 ( 多重集排列 | 多重集全排列 | 多重集非全排列 所有元素重复度大于排列数 | 多重集非全排列 某些元素重复度小于排列数 )

一、多重集组合 ( 所有元素重复度大于组合数 )

---

多重集 :

S = { n 1 ⋅ a 1 , n 2 ⋅ a 2 , ⋯   , n k ⋅ a k } ,     0 ≤ n i ≤ + ∞ S = \{ n_1 \cdot a_1 , n_2 \cdot a_2 , \cdots , n_k \cdot a_k \} , \ \ \ 0 \leq n_i \leq +\infty S={n1​⋅a1​,n2​⋅a2​,⋯,nk​⋅ak​},   0≤ni​≤+∞

• 元素种类 : 多重集中含有 $k$ 种不同的元素 ,
• 元素表示 : 每个元素表示为 $a_1,a_2,\cdots ,a_k$ ,
• 元素个数 : 每个元素出现的次数是 $n_1,n_2,\cdots ,n_k$ ,
• 元素个数取值 : $n_i$ 的取值要求是 大于 $0$ , 小于正无穷 $+\infty$ ;

上述多重集的组合 , 当 所有元素的重复度 $n_i$ 组大于组合数 $r$ 时 , $r\le n_i$ 时 , 多重集的组合数为

$$N=C(k+r-1,r)$$

二、多重集组合 所有元素重复度大于组合数 推导 1 ( 分割线推导 )

---

多重集 :

S = { n 1 ⋅ a 1 , n 2 ⋅ a 2 , ⋯   , n k ⋅ a k } ,     0 ≤ n i ≤ + ∞ S = \{ n_1 \cdot a_1 , n_2 \cdot a_2 , \cdots , n_k \cdot a_k \} , \ \ \ 0 \leq n_i \leq +\infty S={n1​⋅a1​,n2​⋅a2​,⋯,nk​⋅ak​},   0≤ni​≤+∞

取 $r$ 种元素的组合 , $r\le n_i$ , 推导过程如下 :

在 $k$ 种元素中 , 取 $r$ 种元素 , 每种元素取 $0\sim r$ 个不等的元素 ,

使用 $k-1$ 个分割线分割 $k$ 种元素的位置 , $k-1$ 个分割线相当于组成了 $k$ 个盒子 , 在每个盒子中放 $0\sim r$ 个不等的元素 ,

放置的总元素的个数是 $r$ 个 , 分割线个数是 $k-1$ 个 , 这里就产生了一个组合问题 , 在 $k-1$ 个分割线 和 $r$ 个元素之间 , 选取 $r$ 个元素 , 就是 多重集的 $r\le n_i$ 情况下的 组合个数 ;

结果是 :

$$N=C(k+r-1,r)$$

二、多重集组合 所有元素重复度大于组合数 推导 2 ( 不定方程非负整数解个数推导 )

---

多重集 :

S = { n 1 ⋅ a 1 , n 2 ⋅ a 2 , ⋯   , n k ⋅ a k } ,     0 ≤ n i ≤ + ∞ S = \{ n_1 \cdot a_1 , n_2 \cdot a_2 , \cdots , n_k \cdot a_k \} , \ \ \ 0 \leq n_i \leq +\infty S={n1​⋅a1​,n2​⋅a2​,⋯,nk​⋅ak​},   0≤ni​≤+∞

取 $r$ 种元素的组合 , $r\le n_i$ , 推导过程如下 :

多重集 $S$ 每个元素取值 :

• 第 $1$ 种元素取值个数 : 元素 $a_1$ 的取值个数是 $x_1$ ,

• 第 $2$ 种元素取值个数 : 元素 $a_2$ 的取值个数是 $x_2$ ,

$⋮$

• 第 $k$ 种元素取值个数 :元素 $a_k$ 的取值个数是 $x_k$ ;

不定方程 $x_1+x_2+\cdots +x_k=r$ ;

$x_i$ 可以为 $0$ , 即某个元素取值个数可以是 $0$ ;

则多重集 $S$ 的 $r$ 组合是 : { x 1 ⋅ a 1 , x 2 ⋅ a 2 , ⋯   , x k ⋅ a k } \{ x_1 \cdot a_1 , x_2 \cdot a_2 , \cdots , x_k \cdot a_k \} {x1​⋅a1​,x2​⋅a2​,⋯,xk​⋅ak​}

$x_i$ 的取值是非负整数

多重集组合与方程对应 : 只要有一个 $r$ 组合 , 就可以写出一个对象的 方程 $x_1+x_2+\cdots +x_k=r$ 出来 ;

非负整数解与多重集组合对应 : $x_1+x_2+\cdots +x_k=r$ 不定方程的一组非负整数解 , 就对应着 一个 $S$ 多重集的 $r$ 组合 ;

一一对应关系 : 上述

方程的非负整数解的个数

与

$S$ 多重集的 $r$ 组合个数 一一对应 ;

求 $S$ 多重集的 $r$ 组合数 , 就可以转化成 求 $x_1+x_2+\cdots +x_k=r$ 方程非负整数解个数 ;

将上述解写成一个序列 , 序列中使用 $k-1$ 个 $0$ , 分割 $k$ 组 $1$ ;

$\begin{array}{c}\underbrace{1\cdots 1}\\ x_1个1\end{array}$ $0$ $\begin{array}{c}\underbrace{1\cdots 1}\\ x_2个1\end{array}$ $0$ $\begin{array}{c}\underbrace{1\cdots 1}\\ x_3个1\end{array}$ $0$ $\cdots$ $0$ $\begin{array}{c}\underbrace{1\cdots 1}\\ x_k个1\end{array}$

不定方程每个解 都对应着 上述 $k-1$ 个 $0$ 和 $r$ 个 $1$ 的一个排列 ;

相当于一个多重集 S ′ = { r ⋅ 1 , ( k − 1 ) ⋅ 0 } S' = \{ r \cdot 1 , (k-1) \cdot 0 \} S′={r⋅1,(k−1)⋅0} 的全排列 ;

这里就将 多重集的组合问题 , 转化成了 另外一个多重集的全排列问题 , 多重集全排列是有公式的 ;

多重集全排列的公式是 : ( 回顾知识点 ① )

S = { n 1 ⋅ a 1 , n 2 ⋅ a 2 , ⋯   , n k ⋅ a k } ,     0 ≤ n i ≤ + ∞ S = \{ n_1 \cdot a_1 , n_2 \cdot a_2 , \cdots , n_k \cdot a_k \} , \ \ \ 0 \leq n_i \leq +\infty S={n1​⋅a1​,n2​⋅a2​,⋯,nk​⋅ak​},   0≤ni​≤+∞

★ 全排列 : $r=n_1+n_2+\cdots +n_k=n$

$$N=\frac{n!}{n_1!n_2!\cdots n_k!}$$

★ 多重集的全排列数是 元素总数阶乘 , 除以 所有重复度的阶乘 ;

参考 : 【组合数学】排列组合 ( 多重集排列 | 多重集全排列 | 多重集非全排列 所有元素重复度大于排列数 | 多重集非全排列 某些元素重复度小于排列数 ) 二、多重集全排列

( 回顾知识点完毕 ① )

可以根据上述公式 , 计算 多重集 S ′ = { r ⋅ 1 , ( k − 1 ) ⋅ 0 } S' = \{ r \cdot 1 , (k-1) \cdot 0 \} S′={r⋅1,(k−1)⋅0} 的全排列 , 结果是 :

$$N=\frac{(r+k-1)!}{r!(k-1)!}$$

★ 排列数与组合数回顾 : ( 回顾知识点 ② )

• 排列数 : $n$ 元集 $S$ , 从 $S$ 集合中 有序 , 不重复 选取 $r$ 个元素 , $P(n,r)=\frac{n!}{(n-r)!}$
• 组合数 : $n$ 元集 $S$ , 从 $S$ 集合中 无序 , 不重复 选取 $r$ 个元素 , $C(n,r)=\frac{P(n,r)}{r!}\frac{n!}{(n-r)!r!}$

参考 : 【组合数学】排列组合 ( 排列组合内容概要 | 选取问题 | 集合排列 | 集合组合 )

( 回顾知识点完毕 ② )

由上述的组合数可以看出 , $$N=\frac{(r+k-1)!}{r!(k-1)!}$$

的值正好是从 $r+k-1$ 个元素中取 $r$ 个元素的组合数 ;

$$N=\frac{(r+k-1)!}{r!(k-1)!}=C(r+k-1,r)$$