2018年高考数学全国卷1第16题的18般武艺

2018年高考已经结束,从全国卷1理科卷来看,出题中规中矩,覆盖知识点比较全面,难度并不是很大.若平时复习不是打酱油的话,很多基础题是没有问题的.

填空题第16题以三角函数为载体,考查求最值问题,考生可以有不同的切入角度,从而有不同的解题方法,体现出学生思维灵活性的差异,对学生可能有难度,部分学生可能会直接去化简合并,但不会成功;直接求导讨论函数的极值点会成功.

已知函数$f(x)=2\sin x+\sin 2x,$ 则$f(x)$的最小值是 _ .

01常规求导法

首先说的是常规求导法，即求出函数的导数，令导数为0，求出极值，极值与区间端点处的函数值进行比较，最大的就是最大值，最小的就是最小值，当然在具体处理时还有一些细节方面的注意，比如不可导点也应该考虑进来，有时不需要求出极值点，只需求出极值点满足的条件.

显然,$f(x)$的周期为$2\pi$,所以可以在一个周期$[0,2\pi)$内讨论,
$f^\prime(x)=2\cos x+2\cos2x=2\cos x+2(2\cos^2x-1)$

$=2(2\cos^2x+\cos x-1)=2(2\cos x-1)(\cos x+1)$

令$f^\prime(x)=0,$得$\cos x=-1,$或$\cos x=\dfrac12.$

在$[0,2\pi)$内,$f(x)$的最小值只能在使得
$\cos x=1,\cos x=-1,\cos x=\dfrac{1}{2}$
的这些点处取到.对应的$\sin x$的值依次是
$\sin x=0,\sin x=0,\sin x=\pm\dfrac{\sqrt3}{2}.$
显然，$f(x)=2\sin x+\sin 2x=2\sin x(1+\cos x)$的最小值为
2⋅(−3–√2)⋅(1+12