卡尔曼滤波在温度测量中的应用

假设我们要研究的对象是一个房间的温度。
根据经验判断，这个房间的温度大概是25℃左右，可能受空气流通、阳关等因素影响，房间内温度会小幅度地波动。
我们以分钟为单位，定时测量房间温度，这里的1分钟，可以理解为采样时间。假设测量温度时，外界的天气是多云，阳光照射时有时无，同时房间不是100%密封的，可能有微小的与外界空气的交换，即引入过程噪声W(k),其方差为Q,大小恒定为Q=0.01(假如不考虑过程噪声的影响，即真实温度是恒定的，那么这时候Q=0)。

 由公式：
 X(k+1) = ΦX*(k) + Γ*W(k)
 Y(k) = H*X(k)+V(k)

相应地，A=1, Γ=1，Q=0.01，状态X(k)是在第K分钟时的房间温度，是一维的。那么该系统的状态微分方程X（k）=X(k-1)+W(k)

现在用温度计开始测量房间的温度，假设温度计的测量误差为±0.5℃，从出厂说明书上我们得知该温度计的方差为0.25。也就是说，温度计第K次测量的数据不是100%准确的，它是有测量噪声V(K)的，并且方差R=0.25，因此测量方程为Z（k）=X(k)+V(k)

到此，很容易想到，该系统的状态和观测方程为

            X（k）=ΦX(k-1)+ΓW(k)
            Y(k) = H*X(k)+V(k)

式中，X(k)是一维变量温度；A=1；Γ=1，H=1；W(k)和V(k)的方差为Q和R。

模型建好之后，就可以利用Kalman滤波了。假如要估算第K时刻的实际温度值，首先要根据k-1时刻的温度值来预测k时刻的温度。假定第k-1时刻的温度值测量值为23.9℃，房间真实温度为24.0℃，该测量值的偏差是0.1℃，即协方差P(k-1)=0.1²。
在第k时刻，房间的真实温度是24.1℃，温度计在该时刻测量的值为24.5℃，偏差为0.4℃。我们用于估算第k时刻的温度有两个温度值，分别是k-1时刻23.9℃和k时刻的24.5℃，如何融合这两组数据，得到最逼近真实值的估呢？

首先，利用k-1时刻温度值预测第k时刻的温度，其预计偏差为P（k|k-1）=P(k-1)+Q=0.02，计算Kalman增益K=P(k|k-1)/（P(k|k-1)+R）=0.0741，那么这时候利用k时刻的观测值，得到温度的估计值为X(K)=23.09+0.0741*（24.1-23.9）=23.915℃。

可见，与23.9℃和24.5℃相比较，Kalman估计值23.915℃更接近真实值24.1℃。此时更新k时刻的偏差P(k)=（1-K*H）P(k|k-1)=0.0186。

最后由X(k)=23.915℃和P(k)=0.0186，可以继续对下一时刻观测数据Z(k+1)进行更新和处理。

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%功能说明：Kalman滤波用在一维温度数据测量系统中
function main
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