[BZOJ3240][Noi2013]矩阵游戏 && 快速幂

最新推荐文章于 2022-04-10 23:15:09 发布

大蒟蒻syk

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分类专栏： BZOJ 数学 NOI

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本文介绍了如何利用费马小定理进行快速幂运算，简化了矩阵运算的过程，并通过实例展示了从F[1][1]到F[n][1]和F[n][m]的推导过程。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

当我知道这题矩阵可以用费马小定理搞快速幂的时候我眼泪都要落下来了QAQ

首先求一发通项F[1][1]->F[2][1]的通项

然后写成A+B的形式

若a != 1

A = (a^(m-1))*c

B = b*((a^(m-1))/(a-1)) * c + d

若a == 1

A = c

B = B * (m-1) * c + d

那么从F[1][1]->F[n][1]可以写作

F[n][1] = A^(n-1) + B * ( (A^(n-1) - 1) / (A-1))

然后再用F[n][1]推到F[n][m]就好啦

莫名其妙代码长好多QAQ

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<queue>
#define SF scanf
#define PF printf
using namespace std;
typedef long long LL;
typedef long double LD;
inline int read() {
	int x = 0, f = 1; char ch = getchar();
	while(ch < '0' || ch > '9') { if(ch == '-') f = -1; ch = getchar(); }
	while('0' <= ch && ch <= '9') { x = x * 10 + ch - '0'; ch = getchar(); }
	return x*f;
}
const int MAXN = 1000000;
const int MOD = 1000000007;
char n[MAXN+10], m[MAXN+10];
int A, B, a, b, c, d, X, Y, XX;
int lenn, lenm;
int powa[MAXN+10], powA[MAXN+10];
inline int pow_mod(int x, int k) {
	int ret = 1;
	while(k) {
		if(k & 1) ret = 1LL * ret * x % MOD;
		x = 1LL * x * x % MOD;
		k >>= 1;
	}
	return ret;
}
inline int pow_mod(char *s, int len, int *t) {
	int ret = 1;
	for(int i = 0; i < len; i++) {
		int x = len-i-1;
		for(int p = 0; p < s[i]-'0'; p++)
			ret = 1LL * ret * t[x] % MOD;
	}
	return ret;
}
inline int inv(int x) {
	return pow_mod(x, MOD-2);
}
inline int getint(char *s, int len) {
	int ans = 0;
	for(int i = 0; i < len; i++)
		ans = (1LL * ans * 10 + s[i] - '0') % MOD;
	return ans;
}
void Doit() {		
	int ans = 0;
	powA[0] = A;
	powA[1] = pow_mod(A, 10);
	for(int i = 2; i <= lenn; i++) powA[i] = pow_mod(powA[i-1], 10);
	X = 1LL * pow_mod(n, lenn, powA) * inv(A) % MOD;
	if(A != 1) 
		ans = ((X + 1LL * B * (X-1) % MOD * inv(A-1) % MOD) % MOD + MOD) % MOD;
	else 
		ans = ((1 + 1LL * B * (getint(n, lenn)-1)) % MOD + MOD) % MOD;
	if(a != 1) 
		ans = ((1LL * ans * XX % MOD + 1LL * b * (XX-1) % MOD * inv(a-1) % MOD) % MOD + MOD) % MOD;
	else 
		ans = ((ans + 1LL * b * (getint(m, lenm)-1) % MOD) + MOD) % MOD;
	PF("%d\n", ans);
}
int main() {
	SF("%s%s%d%d%d%d", n, m, &a, &b, &c, &d);
	lenn = strlen(n); lenm = strlen(m);
	powa[0] = a; powa[1] = pow_mod(a, 10);
	for(int i = 2; i <= lenm; i++) powa[i] = pow_mod(powa[i-1], 10);
	if(a != 1) {
		XX = 1LL * pow_mod(m, lenm, powa) * inv(a) % MOD;
		A = 1LL * XX * c % MOD;
		B = (1LL * b * (XX-1) % MOD * inv(a-1) % MOD * c % MOD + d) % MOD;
		Y = (XX + 1LL * b * (XX-1) % MOD * inv(a-1) % MOD) % MOD;
	}
	else {
		A = c % MOD;
		B = 1LL * b * (getint(m, lenm)-1) % MOD;
		Y = (B+1) % MOD;
		B = (1LL * B * c + d) % MOD;
		if(B < 0) B += MOD;
	}
	Doit();
}
/*
300000000001234560000000000000000000 400000002315654564897891231560000000000000000000000000 99999999 99999999 99999999 999999999
*/