bzoj 3243: [Noi2013]向量内积矩阵乘法

最新推荐文章于 2022-07-18 09:23:23 发布

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#矩阵乘法 #随机算法

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该博客探讨了NOI2013竞赛中关于向量内积的问题，指出原题解法的时间复杂度为O(N^2D)，并提出了优化思路。在模2的情况下，通过计算向量点积的和来判断是否存在非零点积，再利用随机化策略提高解题正确率。对于模3的情况，通过考虑点积的平方来优化计算。最后给出了通过AC的代码片段。

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这道题目中D应该是<=100。。

我们可以把两个向量的点积看成1*d和d*1的矩阵相乘；那么我们将原始矩阵A转置得到A'，A*A'[i,j]就是向量i*向量j的点积。

但是这样是O(N^2D)的；考虑用一些黑科技。考虑mod=2时，假设对于i，我们求出i之前的所有向量与i的点积的和；如果所有的点积都>0即=1，那么显然点积的和对二取模=(i-1)%2；否则如果≠(i-1)%2，显然i与i前面的某一个向量的点积=0，我们O(ND)寻找答案即可。但是这样不一定能得到解，我们不妨随机打乱向量的顺序然后判断，这样至少是1-(1/2)^5的正确率了。。

当mod=3时也是一样的，不过点积>0并不一定=1，但是注意到点积的平方>0则一定=1，把点积拆开来计算即可。

AC代码如下：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#define N 100005
#define M 101
#define rd ((rand_now=((long long)rand_now*20000909+2010527)%1000000009)/97)
using namespace std;

int n,m,mod,rand_now=1000003,a[N][M],q[N],b[M],c[M][M];
int read(){
	int x=0; char ch=getchar();
	while (ch<'0' || ch>'9') ch=getchar();
	while (ch>='0' && ch<='9'){ x=x*10+ch-'0'; ch=getchar(); }
	return x;
}
bool check(int x,int y){
	int i,tmp=0;
	for (i=1; i<=m; i++) tmp+=a[x][i]*a[y][i];
	return !(tmp%mod);
}
int solve(int x){
	int ans=0,i,j;
	if (mod==2)
		for (i=1; i<=m; b[i]^=a[x][i],i++)
			ans^=b[i]&a[x][i];
	else
		for (i=1; i<=m; i++)
			for (j=1; j<=m; c[i][j]+=a[x][i]*a[x][j],j++)
				ans+=c[i][j]*a[x][i]*a[x][j];
	return ans%mod;
}
int main(){
	n=read(); m=read(); mod=read(); int i,j;
	for (i=1; i<=n; i++)
		for (j=1; j<=m; j++) a[i][j]=read()%mod;
	for (i=1; i<=n; i++) q[i]=i;
	int cas=7-mod;
	while (cas--){
		if (mod==2) memset(b,0,sizeof(b)); else memset(c,0,sizeof(c));
		for (i=2; i<=n; i++) swap(q[i],q[rd%(i-1)+1]);
		for (i=1; i<=n; i++) if (solve(q[i])!=(i-1)%mod)
			for (j=1; j<i; j++) if (check(q[i],q[j])){
				if (q[i]>q[j]) swap(i,j);
				printf("%d %d\n",q[i],q[j]); return 0;
			}
	}
	puts("-1 -1");
	return 0;
}

by lych

2016.5.23