人体运动学非线性分析（二）—Lyapunov指数

基于轨迹的Lyapunov指数计算原理及在人体运动学中的应用

Lyapunov基本概念

Lyapunov指数能够通过测量相邻轨迹收敛或分离的速率来衡量混沌的状态，Lyapunov指数越大，表明系统局部稳定性越差。

求解Lyapunov指数的方法主要分为两大类，一类是基于微分方程的算法，另一类是基于轨迹的算法。就人体运动学分析而言，我们往往对采集的时间序列求解Lyapunov指数，系统的微分方程式未知的，因此本文主要介绍的是基于轨迹的算法。

求解Lyapunov指数相关参数

重构空间维数(Embedding dimension) m 和时间延迟(Time Lag) T 是最重要的两个参数。由于存在 m 个空间维数，因此存在 * m* 个Lyapunov指数，但最大的Lyapunov指数能够决定局部稳定性的大小。

（1）如何选择合适的重构空间维数

空间维数m如果低于实际系统的维度，会使得系统状态空间的信息丢失；如果所选择的的空间维数m过大，会增加噪声对于当前数据的影响，是在信噪比比较小的情况下该现象尤为明显。

目前确定重构空间维数的方法为假近邻法（False Nearest Neighbor,FNN），该方法的名称很形象，即通过不断提高维度来确定两组数据是否真正相邻（让我想到了三体里面从高维空间观察我们所生活的三维空间）。实际操作时首先计算 m 维度下所有向量之间的欧氏距离 $d_m$，再计算 m+1 维度下的欧氏距离 $d_{m+1}$，计算时对同一起始点进行计算，只是维数不相同，再利用公式判断是否相邻。

通用判断公式为：

$\frac{d_{m+1}-d_m}{d_m}>R_{tol}$, $R_{tol}=15$

对于较小的数据集判断公式更正为：

$\frac{d_{m+1}-d_m}{\sigma }>A_{tol}$, $A_{tol}=2$

其中$\sigma$为 m 维度下欧氏距离 $d_m$ 的标准差

绘制所有 m 维度下的 $\frac{F_n}{T_n}$