理解数学空间，从距离到希尔伯特空间

在数学中有许多空间表示，比如欧几里德空间、赋范空间、希尔伯特空间等。这些空间之间有什么关系呢？

首先要从距离的定义说起。
什么是距离呢？实际上距离除了我们经常用到的直线距离外，还有向量距离如$\sqrt{\Sigma_{i=1}^nx_i\cdot y_i}$， 函数距离如$\int_a^b(f(x)-g(x))^2d_x$、 曲面距离、折线距离等等，这些具体的距离与距离之间的关系类似于苹果、香蕉等与水果的关系，前面是具体的事物，后面是抽象的概念。距离就是一个抽象的概念，其定义为：
设X是任一非空集，对X中任意两点x,y，有一实数d(x,y)与之对应且满足：
1. d(x,y) $\geq$0，且d(x,y)=0当且仅当x=y;
2. d(x,y)=d(y,x);
3. d(x,y) $\leq$d(x,z)+d(z,y)。
称d(x,y)为X中的一个距离。

定义了距离后，我们再加上线性结构，如向量的加法、数乘，使其满足加法的交换律、结合律、零元、负元；数乘的交换律、单位一；数乘与加法的结合律（两个）共八点要求，从而形成一个线性空间，这个线性空间就是向量空间。

在向量空间中，我们定义了范数的概念，表示某点到空间零点的距离：
1. ||x|| $\ge$0;
2. ||ax||=|a|||x||;
3. ||x+y||$\le$||x||+||y||。

将范数与距离比较，可知，范数比距离多了一个条件2，数乘的运算，表明其是一个强化了的距离概念。范数与距离的关系可以类似理解为与红富士苹果与苹果的关系。

接下来对范数和距离进行扩展，形成如下：
范数的集合$\longrightarrow$ 赋范空间+线性结构$\longrightarrow$线性赋范空间
距离的集合$\longrightarrow$ 度量空间+线性结构$\longrightarrow$线性度量空间

下面在已经构成的线性赋范空间上继续扩展，添加内积运算，使空间中有角的概念，形成如下：
线性赋范空间+内积运算$\longrightarrow$ 内积空间；
这时的内积空间已经有了距离、长度、角度等，有限维的内积空间也就是我们熟悉的欧氏空间。

继续在内积空间上扩展，使得内积空间满足完备性，形成希尔伯特空间如下：
内积空间+完备性$\longrightarrow$ 希尔伯特空间
其中完备性的意思就是空间中的极限运算不能跑出该空间，如有理数空间中的$\sqrt2$ 的小数表示，其极限随着小数位数的增加收敛到$\sqrt2$，但$\sqrt2$ 属于无理数，并不在有理数空间，故不满足完备性。一个通俗的理解是把学校理解为一个空间，你从学校内的宿舍中开始一直往外走，当走不动停下来时（极限收敛），发现已经走出学校了（超出空间），不在学校范围内了（不完备了）。希尔伯特就相当于地球，无论你怎么走，都还在地球内（飞出太空除外）。

此外，前面提到的赋范空间，使其满足完备性，扩展形成巴拿赫空间如下：
赋范空间+完备性$\longrightarrow$ 巴拿赫空间

以上均是在距离的概念上进行添加约束形成的，递增关系如下：
距离$\longrightarrow$范数$\longrightarrow$内积
向量空间+范数$\longrightarrow$ 赋范空间$+线性结构\longrightarrow$线性赋范空间+内积运算$\longrightarrow$内积空间+完备性$\longrightarrow$希尔伯特空间
内积空间+有限维$\longrightarrow$欧几里德空间
赋范空间$+完备性\longrightarrow$巴拿赫空间

顺便提以下，对距离进行弱化，保留距离的极限和连续概念，就形成拓扑的概念。