本文探讨了内积空间的完备性，从二维平面的勾股定理出发，逐步推广到有限维和无限维空间，特别是可列无限维和不可列无限维的情况。在有限维空间中，可以找到标准正交基，并满足Parseval等式。然而，在不可列无限维空间中，由于不能找到完整的标准正交基，导致Parseval等式不再成立，转而满足Bessel不等式。
这是我回答一个知乎问题，顺便在专栏记录一下吧。
这主要关乎内积空间（有长度即范数，有角度即任意两元素有夹角，这都是内积蕴含的）的维数与标准正交基（直角坐标系的推广），（广义）勾股定理。
1. 二维平面
任何一个元（向量），直角坐标系就是由
其中，
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