Unique Binary Search Trees

本文探讨了卡特兰数在计算给定范围内唯一二叉搜索树的数量上的应用,并通过实例展示了如何使用卡特兰数公式解决相关问题。

摘要生成于 C知道 ,由 DeepSeek-R1 满血版支持, 前往体验 >

问题来源:https://leetcode.com/problems/unique-binary-search-trees/

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 * 
 * <p>
 * ClassName UniqueBinarySearchTrees
 * </p>
 * <p>
 * Description Given n, how many structurally unique BST's (binary search trees二叉查找树) that store values 1...n? For example, Given
 * n = 3, there are a total of 5 unique BST's.<br/>
 *   1         3     3      2      1<br/>
 *    \       /     /      / \      \<br/>
 *     3     2     1      1   3      2<br/>
 *    /     /       \                 \<br/>
 *   2     1         2                 3<br/>
 * </p>
 * 
 * @author TKPad wangx89@126.com
 *         <p>
 *         Date 2015年3月20日 下午2:11:23
 *         </p>
 * @version V1.0.0
 *
 *
 */
/**
 * 卡特兰数又称卡塔兰数,英文名Catalan number,是组合数学中一个常出现在各种计数问题中出现的数列。由以比利时的数学家欧仁·查理·卡塔兰 (1814–1894)命名,其前几项为 : 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430,
 * 4862, 16796, 58786, 208012, 742900, 2674440, 9694845, 35357670, 129644790, 477638700, 1767263190, 6564120420, 24466267020,
 * 91482563640, 343059613650, 1289904147324, 4861946401452
 */
/**
 * 令h(0)=1,h(1)=1,catalan数满足递推式[1] : h(n)= h(0)*h(n-1)+h(1)*h(n-2) + ... + h(n-1)h(0) (n>=2) 例如:h(2)=h(0)*h(1)+h(1)*h(0)=1*1+1*1=2
 * h(3)=h(0)*h(2)+h(1)*h(1)+h(2)*h(0)=1*2+1*1+2*1=5 另类递推式[2] : h(n)=h(n-1)*(4*n-2)/(n+1); 递推关系的解为: h(n)=C(2n,n)/(n+1)
 * (n=0,1,2,...) 递推关系的另类解为: h(n)=c(2n,n)-c(2n,n+1)(n=0,1,2,...)
 */
public class UniqueBinarySearchTrees {
    // Time Limit Exceeded
    // public int numTrees(int n) {
    // if (0 == n || 1 == n) {
    // return 1;
    // } else {
    // int sum = 0;
    // for (int i = 0; i <= n - 1; i++) {
    // sum += numTrees(i) * numTrees(n - 1 - i);
    // }
    // return sum;
    // }
    // }
    public int numTrees(int n) {
        if (n <= 1) {
            return 1;
        }
        if (n == 2) {
            return 2;
        }
        int nums[] = new int[n + 1];
        nums[0] = 1;
        nums[1] = 1;
        nums[2] = 2;
        for (int i = 3; i < nums.length; i++) {
            int temp = 0;
            for (int j = 0; j < i; j++) {
                temp += nums[j] * nums[i - j - 1];
            }
            nums[i] = temp;
        }
        return nums[nums.length - 1];
    }

    public static void main(String[] args) {
        // Last executed input: 19

        // int numTrees = new UniqueBinarySearchTrees().numTrees(0);// 1
        // int numTrees = new UniqueBinarySearchTrees().numTrees(1);// 1
        // int numTrees = new UniqueBinarySearchTrees().numTrees(2);// 1
        int numTrees = new UniqueBinarySearchTrees().numTrees(3);// 1
        // int numTrees = new UniqueBinarySearchTrees().numTrees(6);// 132
        // int numTrees = new UniqueBinarySearchTrees().numTrees(19);
        System.out.println(numTrees);
    }
}
### 如何使用二叉搜索树(BST)实现 A+B 操作 在 C 编程语言中,可以通过构建两个二叉搜索树(BST),分别表示集合 A 和 B 的元素,然后通过遍历其中一个 BST 并将其节点插入到另一个 BST 中来完成 A+B 操作。以下是详细的实现方法: #### 数据结构定义 首先需要定义一个简单的二叉搜索树节点的数据结构。 ```c typedef struct TreeNode { int value; struct TreeNode* left; struct TreeNode* right; } TreeNode; ``` #### 插入函数 为了向 BST 添加新元素,可以编写如下 `insert` 函数。 ```c TreeNode* createNode(int value) { TreeNode* newNode = (TreeNode*)malloc(sizeof(TreeNode)); newNode->value = value; newNode->left = NULL; newNode->right = NULL; return newNode; } void insert(TreeNode** root, int value) { if (*root == NULL) { *root = createNode(value); } else { if (value < (*root)->value) { insert(&((*root)->left), value); // Insert into the left subtree. } else if (value > (*root)->value) { insert(&((*root)->right), value); // Insert into the right subtree. } // If value == (*root)->value, do nothing since duplicates are not allowed in a set. } } ``` #### 合并操作 要执行 A+B 操作,即合并两棵 BST,可以从一棵树中提取所有元素并将它们逐个插入另一棵树中。 ```c // In-order traversal to extract elements from one tree and add them to another. void mergeTrees(TreeNode* sourceRoot, TreeNode** targetRoot) { if (sourceRoot != NULL) { mergeTrees(sourceRoot->left, targetRoot); // Traverse left subtree first. insert(targetRoot, sourceRoot->value); // Add current node's value to target tree. mergeTrees(sourceRoot->right, targetRoot); // Then traverse right subtree. } } ``` #### 主程序逻辑 假设我们已经初始化了两棵 BST 表示集合 A 和 B,则可以通过调用上述函数完成 A+B 操作。 ```c int main() { TreeNode* treeA = NULL; TreeNode* treeB = NULL; // Example: Adding values to Tree A. int arrayA[] = {5, 3, 7, 2, 4}; for (size_t i = 0; i < sizeof(arrayA)/sizeof(arrayA[0]); ++i) { insert(&treeA, arrayA[i]); } // Example: Adding values to Tree B. int arrayB[] = {6, 8, 1}; for (size_t i = 0; i < sizeof(arrayB)/sizeof(arrayB[0]); ++i) { insert(&treeB, arrayB[i]); } // Perform A + B by merging all nodes of treeB into treeA. mergeTrees(treeB, &treeA); // Now treeA contains all unique elements from both sets. return 0; } ``` 此代码片段展示了如何利用二叉搜索树的性质高效地进行集合并集运算[^1]。
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