Unique Binary Search Trees

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本文探讨了卡特兰数在计算给定范围内唯一二叉搜索树的数量上的应用，并通过实例展示了如何使用卡特兰数公式解决相关问题。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

问题来源：https://leetcode.com/problems/unique-binary-search-trees/

/**
 * 
 * <p>
 * ClassName UniqueBinarySearchTrees
 * </p>
 * <p>
 * Description Given n, how many structurally unique BST's (binary search trees二叉查找树) that store values 1...n? For example, Given
 * n = 3, there are a total of 5 unique BST's.<br/>
 *   1         3     3      2      1<br/>
 *    \       /     /      / \      \<br/>
 *     3     2     1      1   3      2<br/>
 *    /     /       \                 \<br/>
 *   2     1         2                 3<br/>
 * </p>
 * 
 * @author TKPad wangx89@126.com
 *         <p>
 *         Date 2015年3月20日 下午2:11:23
 *         </p>
 * @version V1.0.0
 *
 *
 */
/**
 * 卡特兰数又称卡塔兰数，英文名Catalan number，是组合数学中一个常出现在各种计数问题中出现的数列。由以比利时的数学家欧仁·查理·卡塔兰 (1814–1894)命名，其前几项为 : 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430,
 * 4862, 16796, 58786, 208012, 742900, 2674440, 9694845, 35357670, 129644790, 477638700, 1767263190, 6564120420, 24466267020,
 * 91482563640, 343059613650, 1289904147324, 4861946401452
 */
/**
 * 令h(0)=1,h(1)=1，catalan数满足递推式[1] ： h(n)= h(0)*h(n-1)+h(1)*h(n-2) + ... + h(n-1)h(0) (n>=2) 例如：h(2)=h(0)*h(1)+h(1)*h(0)=1*1+1*1=2
 * h(3)=h(0)*h(2)+h(1)*h(1)+h(2)*h(0)=1*2+1*1+2*1=5 另类递推式[2] ： h(n)=h(n-1)*(4*n-2)/(n+1); 递推关系的解为： h(n)=C(2n,n)/(n+1)
 * (n=0,1,2,...) 递推关系的另类解为： h(n)=c(2n,n)-c(2n,n+1)(n=0,1,2,...)
 */
public class UniqueBinarySearchTrees {
    // Time Limit Exceeded
    // public int numTrees(int n) {
    // if (0 == n || 1 == n) {
    // return 1;
    // } else {
    // int sum = 0;
    // for (int i = 0; i <= n - 1; i++) {
    // sum += numTrees(i) * numTrees(n - 1 - i);
    // }
    // return sum;
    // }
    // }
    public int numTrees(int n) {
        if (n <= 1) {
            return 1;
        }
        if (n == 2) {
            return 2;
        }
        int nums[] = new int[n + 1];
        nums[0] = 1;
        nums[1] = 1;
        nums[2] = 2;
        for (int i = 3; i < nums.length; i++) {
            int temp = 0;
            for (int j = 0; j < i; j++) {
                temp += nums[j] * nums[i - j - 1];
            }
            nums[i] = temp;
        }
        return nums[nums.length - 1];
    }

    public static void main(String[] args) {
        // Last executed input: 19

        // int numTrees = new UniqueBinarySearchTrees().numTrees(0);// 1
        // int numTrees = new UniqueBinarySearchTrees().numTrees(1);// 1
        // int numTrees = new UniqueBinarySearchTrees().numTrees(2);// 1
        int numTrees = new UniqueBinarySearchTrees().numTrees(3);// 1
        // int numTrees = new UniqueBinarySearchTrees().numTrees(6);// 132
        // int numTrees = new UniqueBinarySearchTrees().numTrees(19);
        System.out.println(numTrees);
    }
}