51NOD 1476 贪心

探讨了一道关于字符串中括号匹配的问题,通过替换问号为括号以达到合法匹配的同时,使得替换权值之和最小。采用优先队列进行优化选择,确保了替换过程的有效性和权值总和的最小化。

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传送门:题目

题意:

给一个字符串,问号可替换左右括号,问在保证括号合法匹配的前提下,替换的权值和最小。

题解:

不妨先把所有的问号替换为右括号,我们用sum计算他们的权值和,替换的过程中$sum+=b[i]$,然后我们再一次从左往右扫一遍,扫到问号的时候用优先队列储存 b[i]a[i] b [ i ] − a [ i ] ,用 cnt c n t 记录左右括号的平衡状况,当cnt小于 0 0 的时候,我们把问号替换为左括号,这样$cnt+=2$,然后$sum-=b[i]-a[i]$,因为我们是用priority储存的b[i]a[i],所以我们可以保证sum的值是最小的,又因为我们采用了在线priority,所以我们一定能保证,替换是合法的,好题啊。

AC代码:

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <queue>
#define debug(x) cout<<#x<<" = "<<x<<endl;
#define INF 0x3f3f3f3f
using namespace std;

const int maxn = 50010;
int a[maxn], b[maxn];
string str;
priority_queue<int, vector<int>, less<int> > pqi;
int main(void) {
    int cnt = 0;
    long long sum = 0;
    cin >> str;
    int len = str.size();
    for (int i = 0; i < len; i++)
        if (str[i] == '?')
            cin >> a[i] >> b[i], sum += b[i];
    for (int i = 0; i < len; i++) {
        if (str[i] == '(')
            cnt++;
        else if (str[i] == ')' or str[i] == '?') {
            cnt--;
            if (str[i] == '?')
                pqi.push(b[i] - a[i]);
        }
        if (cnt < 0) {
            if (pqi.empty())
                return 0 * puts("-1");
            sum -= pqi.top();
            pqi.pop();
            cnt += 2;
        }
    }
    if (cnt != 0)
        return 0 * puts("-1");
    cout << sum << endl;
    return 0;
}
题目 51nod 3478 涉及一个矩阵问题,要求通过最少的操作次数,使得矩阵中至少有 `RowCount` 行和 `ColumnCount` 列是回文的。解决这个问题的关键在于如何高效地枚举所有可能的行和列组合,并计算每种组合所需的操作次数。 ### 解法思路 1. **预处理每一行和每一列变为回文所需的最少操作次数**: - 对于每一行,计算将其变为回文所需的最少操作次数。这可以通过比较每对对称位置的值是否相同来完成。 - 对于每一列,计算将其变为回文所需的最少操作次数,方法同上。 2. **枚举所有可能的行和列组合**: - 由于 `N` 和 `M` 的最大值为 8,因此可以枚举所有可能的行组合和列组合。 - 对于每一种组合,计算其所需的最少操作次数,并取最小值。 3. **计算操作次数**: - 对于每一种组合,需要计算哪些行和列需要修改,并且注意行和列的交叉点可能会重复计算,因此需要去重。 ### 代码实现 以下是一个可能的实现方式,使用了枚举和位运算来处理组合问题: ```python def min_operations_to_palindrome(matrix, row_count, col_count): import itertools N = len(matrix) M = len(matrix[0]) # Precompute the cost to make each row a palindrome row_cost = [] for i in range(N): cost = 0 for j in range(M // 2): if matrix[i][j] != matrix[i][M - 1 - j]: cost += 1 row_cost.append(cost) # Precompute the cost to make each column a palindrome col_cost = [] for j in range(M): cost = 0 for i in range(N // 2): if matrix[i][j] != matrix[N - 1 - i][j]: cost += 1 col_cost.append(cost) min_total_cost = float('inf') # Enumerate all combinations of rows and columns rows = list(range(N)) cols = list(range(M)) from itertools import combinations for row_comb in combinations(rows, row_count): for col_comb in combinations(cols, col_count): # Calculate the cost for this combination cost = 0 # Add row costs for r in row_comb: cost += row_cost[r] # Add column costs for c in col_comb: cost += col_cost[c] # Subtract the overlapping cells for r in row_comb: for c in col_comb: # Check if this cell is part of the palindrome calculation if r < N // 2 and c < M // 2: if matrix[r][c] != matrix[r][M - 1 - c] and matrix[N - 1 - r][c] != matrix[N - 1 - r][M - 1 - c]: cost -= 1 min_total_cost = min(min_total_cost, cost) return min_total_cost # Example usage matrix = [ [0, 1, 0], [1, 0, 1], [0, 1, 0] ] row_count = 2 col_count = 2 result = min_operations_to_palindrome(matrix, row_count, col_count) print(result) ``` ### 代码说明 - **预处理成本**:首先计算每一行和每一列变为回文所需的最少操作次数。 - **枚举组合**:使用 `itertools.combinations` 枚举所有可能的行和列组合。 - **计算成本**:对于每一种组合,计算其成本,并考虑行和列交叉点的重复计算问题。 ### 复杂度分析 - **时间复杂度**:由于 `N` 和 `M` 的最大值为 8,因此枚举所有组合的时间复杂度为 $ O(N^{RowCount} \times M^{ColCount}) $,这在实际中是可接受的。 - **空间复杂度**:主要是存储预处理的成本,空间复杂度为 $ O(N + M) $。 ### 相关问题 1. 如何优化矩阵中行和列的枚举组合以减少计算时间? 2. 在计算行和列的交叉点时,如何更高效地处理重复计算的问题? 3. 如果矩阵的大小增加到更大的范围,如何调整算法以保持效率? 4. 如何处理矩阵中行和列的回文条件不同时的情况? 5. 如何扩展算法以支持更多的操作类型,例如翻转某个区域的值?
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