KMP算法——next数组

KMP算法是一种动态规划算法，其主要用于字符串匹配。

KMP算法之所以难理解，就是其最核心的内容PMT数组难以理解。

下面的value就是PMT数组，为什么PMT数组是这样的呢？

首先要说明的是一个字符串的前缀后缀的问题

前缀：如果字符串A和B，存在A=BS，其中S是任意的非空字符串，那就称B为A的前缀。

例如，”Harry”的前缀包括{”H”, ”Ha”, ”Har”, ”Harr”}

后缀：如果字符串A和B，存在A=SB， 其中S是任意的非空字符串，那就称B为A的后缀。

例如，”Potter”的后缀包括{”otter”, ”tter”, ”ter”, ”er”, ”r”}

知道前缀后缀的定义后，就可以看PMT数组的定义了。

PMT数组：PMT中的值是字符串的前缀集合与后缀集合的交集中最长元素的长度。

对于字符串”ababa”，它的前缀集合为{”a”, ”ab”, ”aba”, ”abab”}，它的后缀集合为{”baba”, ”aba”, ”ba”, ”a”}， 两个集合的交集为{”a”, ”aba”}，其中最长的元素为”aba”，长度为3。

char:	a	b	a	b	a
index:	0	1	2	3	4
value:	0	0	1	2	3

这样看就可以很清楚的看懂PMT数组的意义了，可以看到PMT数组实际就是一个动态规划数组，但是KMP算法要借助PMT数组干嘛呢？

我们假设有两个相同字符串"abababca"，一个从第二个字符开始到最后一个字符，这里称为字符串str1，另一个从第一个字符开始到倒数第二个字符，这里称为str2。我们从这个顺序开始比对。我们在编程时为了方便，将PMT数组称为next数组，让next[0]=-1，next[i]=j，这里的i可以理解为str1的第i个字符，j可以理解为str2的第j个字符，当i-1和j-1索引指向的字符相等时，状态转移方程很容易写出来

$$next[i]=j+1ifstr1[i-1]==str2[j-1]$$

但是当str1[i-1]≠str2[j-1]时的转移方程呢？这就需要我们弄明白数组怎么回溯，回溯回去的状态到底代表什么了。PMT数组记录前缀和后缀的相同子串的目的，就是为了回溯的时候我们能够利用曾经比对过后得到的信息。如图©中，我们在next数组中记录了str1在从第2-4个字符代表的后缀字符串中，与str2的从第1-2个字符代表前缀字符串中的最大子串长度，我们知道接下来要从j=2处开始比较str2字符串的元素与str1中i=4后面的元素。这有什么用呢？

再来看图(d)和(e)，当我们比对到i=7，j=5时，我们发现了此时str1[i-1]≠str2[j-1]了，虽然就结果来看next[7]=0但是我们不能直接令next[7]为0，因为会存在如图(d’)这样的状态，我们需要利用前面记录的PMT数组去回溯。我们观察图(d)，str2被比对了第1-4个连续的前缀字符，那么就意味着此时的str1的第3-6个字符与前缀的第1-4个字符是相同的，因此我们可以不看str1的前两个字符，把第3-6个字符当作是第1-4个字符，因此很明显，可以直接回溯到next[4]的状态，令j=next[j-1](前面说了此时j=5)，因此j回溯到了2，即利用了图©状态时我们已知的信息，达到了图(d’)的状态，此时再比对i=7,j=3，str1[6]≠str2[2]因此继续往前回溯j=next[j-1](此时j=3)，因此j回溯到了0的状态，即图(a)的状态，此时next[i]=next[j]此时比对i=7,j=1不同，此时就得到next[7]=0了。

附上计算next数组的代码

 public void countNextArray(String s){
  int n = s.length();
  char[] c = s.toCharArray();
  int[] next = new int[n + 1];
  next[0] = -1;
  next[1] = 0;
  int j = 0;
  int i = 2;
  while (i <= n) {
      if (j == -1 || c[i - 1] == c[j]) {
          next[i] = j + 1;
          j++;
          i++;
      } else {
          j = next[j];
      }
  }
}

当我们有了next数组指示我们去匹配字符串的时候，我们匹配出第一个错误字符时，就能知道str1的后缀字符串中的前缀字符串有哪些可以直接和str2的前缀字符串进行匹配，就可以减少匹配次数。因为如果用遍历的方法去匹配，必须一个字符一个字符的后移匹配，而kmp算法让我们可以记住前面匹配过的字符串，从而可以快速的匹配。