差分约束系统 poj 3169

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来源：http://www.cnblogs.com/void/archive/2011/08/26/2153928.html

差分约束系统详解

概述

一直不知道差分约束是什么类型题目，最近在写最短路问题就顺带看了下，原来就是给出一些形如x-y<=b不等式的约束，问你是否满足有解的问题

好神奇的是这类问题竟然可以转换成图论里的最短路径问题，下面开始详细介绍下

比如给出三个不等式,b-a<=k1,c-b<=k2,c-a<=k3,求出c-a的最大值,我们可以把a,b,c转换成三个点，k1，k2，k3是边上的权，如图

由题我们可以得知，这个有向图中，由题b-a<=k1,c-b<=k2,得出c-a<=k1+k2,因此比较k1+k2和k3的大小，求出最小的就是c-a的最大值了

根据以上的解法，我们可能会猜到求解过程实际就是求从a到c的最短路径，没错的....简单的说就是从a到c沿着某条路径后把所有权值和k求出就是c -a<=k的一个

推广的不等式约束，既然这样，满足题目的肯定是最小的k，也就是从a到c最短距离...

理解了这里之后，想做题还是比较有困难的，因为题目需要变形一下，不能单纯的算..

首先以poj3159为例,这个比较简单，就是给出两个点的最大差，然后让你求1到n的最大差，直接建图后用bellman或者spfa就可以过了

稍微难点的就是poj1364，因为他给出的不等式不是x-y<=k形式，有时候是大于号，这样需要我们去变形一下，并且给出的还是>,<没有等于，都要变形（通过简单的移项就可以了）

再有就是poj1201，他要求出的是最长距离，那就要把形式变换成x-y>=k的标准形式

注意点:

1. 如果要求最大值想办法把每个不等式变为标准x-y<=k的形式,然后建立一条从y到x权值为k的边,变得时候注意x-y<k =>x-y<=k-1

   如果要求最小值的话,变为x-y>=k的标准形式，然后建立一条从y到x的k边，求出最长路径即可

2.如果权值为正，用dj，spfa，bellman都可以，如果为负不能用dj，并且需要判断是否有负环，有的话就不存在

 

总结

>=，求最小值，

1.做最长路；

（为什么是最长路？如果是最短路，可能很多条件不能被满足，比如x3-x1>=5,x2-x1>=1,x3-x2>=1,只有最长路才是满足条件的）

2.如果出现没有等号的项，利用整数的不连续性a-b>5--》a-b>=4

如果出现a-b《5,改成b-a>=-5

<=，求最大值，做最短路。

（个人理解：为什么是最短路？因为要满足所有小等于的条件，只有最短的路才能满足图中所有的约束条件，如果是比最短路长，可能图中有些边的条件不能被满足）

边都是从后往前～～～
<=构图。 最大值，用最短路
有负环说明无解。
求不出最短路（为Inf）为任意解。

>=构图，求最长路，

有正环为无解

求不出为任意解

poj3169 AC代码

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <queue>
using namespace std;
const int maxn=1020;
int N;
const int INF=0x7fffffff;
int connect[maxn][maxn];
bool flag1;
int numofloop;
long long dis[maxn];
bool used[maxn];
void spfa(){
	dis[1]=0;
	queue<int> Q;
	Q.push(1);
	while(!Q.empty()){
		if(numofloop>N*N) {flag1=true; return;}
		numofloop++;
		int cur=Q.front();
		Q.pop();
		used[cur]=false;
		for(int i=1;i<=N;i++){
			if(connect[cur][i]!=0)
			if(dis[cur]+connect[cur][i]<dis[i]){
				dis[i]=dis[cur]+connect[cur][i];
				if(!used[i]){
			//	printf("%d\n",i );
				used[i]=true;
				Q.push(i);
				}
			}
		}

	}

}
//最小路--最大值
//小等于才是正的

int main(int argc, char const *argv[])
{
	int ML,MD;
	for(int i=0;i<maxn;i++) dis[i]=INF;
	cin>>N>>ML>>MD;
	int a,b,c;
	for(int i=0;i<ML;i++){
		scanf("%d%d%d",&a,&b,&c);	
		connect[a][b]=c;
	}
	for(int i=0;i<MD;i++){
		scanf("%d%d%d",&a,&b,&c);
		connect[b][a]=-c;
	}
	// for(int i=1;i<=N;i++){
	// 	for(int j=1;j<=N;j++){
	// 		printf("%d\t", connect[i][j]);
	// 	}
	// 	printf("\n");
	// }
	spfa();
	if(flag1) printf("-1\n");//有负环，不存在最短，永远有更短
	else if(dis[N]==INF) printf("-2\n");//无限制，可以无限远
    else printf("%lld\n",dis[N] );
	return 0;
}

注意：

1.我们特别要注意边是怎么产生的，对于ML,因为是a-b<=c,应该是connect[a][b]<=c，由于奶牛是从小到大排列的，所以应该是A指向B

而对于a-b>=c，转为b-a<=-c以后，这条边应该是connect[b][a]<=-c 应该是B指向A,这一点特别重要。

2.对于最后的答案，我刚开始把输出-1和-2弄反了，对于有负环，这应该是不能存在最小的，而对于dis[N]=inf，即无法达到这一点，说明最后一点没有约束，因此是任意远