图论——二分匹配

主要的知识细节都是从这篇博客看到的：http://www.renfei.org/blog/bipartite-matching.html

无权二分图

增广路：从一个未匹配的节点出发，交替经过匹配的路径和未匹配路径，直到下一个节点是未匹配点为止。

举个例子：

如图所示，1和c匹配，2和a匹配。那么对于节点3开始的增广路径即为3->a->2 。。。啊呀，这个例子不好，增广路径就是3->b。。。基础知识你们还是参看上面的那篇博客吧，讲的真的很详细，我也不想在画图了。。。下面讲一下代码怎么实现。

如果你看了上篇那篇博客，那么你应该知道增广路是上面啦。

增广路特点1：如果去除增广路的前两个节点，那么剩下的路径依然是增广路，这个特点就可以让我们在代码中使用递归去寻找增广路。
增广路特点2：增广路中的每个节点只能出现一次。
增广路特点3：增广路反转之后，匹配数加一。

假设有两组节点，分别有n和m个。
寻找以节点$n_1$为起点是否存在增广路的伪代码：

for  m1 属于 m
    if m1与n相连并且节点m没有使用过 
        if m1没有匹配 //上面的例子就是
            m1与n1匹配，返回true。
        if m1匹配成功
            除去n1和m1,考察与m1匹配的点是否存在增广路径。存在，则让m1和n1匹配，返回true，否则返回false。
end

代码实现：

//以t节点为起点，寻找增广路径，如果存在返回值为true
bool augmentPath(int t){
    int i;
    for(i=0;i<Mnum;i++){
        //如果节点m没有使用
        if(!useif[i]&&graph[t][i]!=INF){
            useif[i] = 1;
            if(matched[i]==0||augmentPath(i)){
                matched[t] = i;
                return true;
            }
        }
    }
    return false;
}

求二分图的最大匹配

//求节点的最大匹配数
int maxMatch(){
    int i;
    int matchNum = 0;
    for(i = 1;i<=Mnum;i++){
        memset(useif,0,sizeof(useif));
        if(augmentPath(i)){
            matchNum++;
        }
    }
    return matchNum;
}

最大匹配数：最大匹配的匹配边的数目
最小点覆盖数：选取最少的点，使任意一条边至少有一个端点被选择
最大独立数：选取最多的点，使任意所选两点均不相连
最小路径覆盖数：对于一个 DAG（有向无环图），选取最少条路径，使得每个顶点属于且仅属于一条路径。路径长可以为 0（即单个点）。
定理1：最大匹配数 = 最小点覆盖数（这是 Konig 定理）
定理2：最大匹配数 = 最大独立数
定理3：最小路径覆盖数 = 顶点数 - 最大匹配数

有权二分图

KM算法

KM算法
要点在于标杆的使用，下面讲一下标杆的作用。

先说一下标杆的作用：在以x为起点寻找增广路的时候，y要满足L(x)+L(y)==weigh(x,y);也就是上面伪代码第二行需要满足的条件不止是x和y相连，才能加入到增广路经。不理解没有关系，其实其中还要设计标杆L的更新，内涵贪心思想。直接看例子：

1.初始化图的邻接矩阵

2.初始化标杆。我们让标杆初始化成其相连的边的最大值，那么保留下来的边也就只有如图所示的五条线，易知，这个图是不满足完美匹配的特点的。

3.第一步从x0开始寻找增广路。
虽然x0到集合Y的所有节点中都有边相连，但是要满足L(x0)+L(y)==weight(x0,y)，所以只有y4满足条件，那么x0->y4就是一条增广路径，翻转之后得到x0的匹配节点为y4。

4.寻找x1的匹配节点，更新标号。
如上图，和x0一样，虽然x1与Y中所有的节点相连，但是要满足L(x1)+L(y)==weigh(x1,y)的节点，只有y4。根据匈牙利算法，那么会将y4加入到x1的增广路径中，然后继续寻找x0的增广路经，因为也只有y4满足x0的增广路径，所以，x1寻找增广路径会失败。然后就需要更新标号，也就是加入新的路径到图中。

如何更新标号？
目标是让x0和x1与Y相连的两个点的权值之和最大。有两种方案：
方案1：让x0的标号减少d1，使得x0到Y集合加入一条边yi（这条边是x0到Y集合的第二长的边），就可以找到增广路经x1->y4->x0->yi;则匹配路径为x1->y4和x0->yi，则权值之和为8+9-d1;
方案2：让x1的标号减少d2，使得x1到Y集合加入一条边yi（这条边是x1到Y集合的第二长的边），就可以找到增广路径x1->yi；则匹配路径为x1->yi和x0->y4,则权值之和为8-d2+9
两个方案，应该取权值的最大值，也就是d=min(d1,d2)；

如果设S={x0，x1}；T={y0，y1，y2，y3};那么9-d1就是x0到T的最大值，8-d2就是x1到T的最大值，那么d = min(L(s)+L(t)-weigh(s,t))

Tables	y0	y1	y2	y3
x0	6	5	3	5
x1	2	4	3	5

计算的结果如上表所示，可知，d =d2 = 2；更新之后的图如下所示

这种更新方式的问题所在在于不能完全的满足寻找最佳匹配的特点。只是权值在一定程度上满足而已，于是我们采用另一种更新策略，统一之间提出的前两种。
如下图，将S集合中的元素-d，Y-T集合中的元素+d

第二种更新方式肯定是对的，关于证明我也没有找到，记住算了。反正这种思想我也没见过有什么推广。

5.寻找x2的匹配节点

x2寻找到的第一条路径为x2->y0->x1->y4->x0结尾是匹配节点，所以不满足条件。
此时S={x0,x1,x2}，T=Y-{y0,y4}={y1,y2,y3};
d的所有取值为：

Tables	y1	y2	y3
x0	2	1	2
x1	2	1	3
x2	2	4	3

可知d的取值为1，则S集合-1，{y0,y4}集合+1。结果如下图：

变化之后增加了x0->y2和x1->y2这两条路。
那么找到的增广路即为：x2->y0->x1->y2。则匹配结果如下所示

6.寻找x3的匹配节点
以x3为起点寻找增广路径，不存在。那么S={x3}，T=Y，故d的取值为

Tables	y0	y1	y2	y3	y4
x3	1	3	4	4	4

故d=1则L{x3}-1=5;

则寻找的增广路径为：x3->y0->x2，非法路径，故S={x2,x3},T={y1,y2,y3,y4};
那么d的取值为：

Tables	y1	y2	y3	y4
x2	1	3	2	7
x3	2	3	3	3

故d的取值为1;那么图更新{S}-1，{Y-T}+1为：

增加了一条路径为x2->y1,则x3的增广路径为x3->y0->x2->y1于是新的匹配为：

7.寻找x4节点的匹配路径
以x4为起点寻找增广路经，不存在。S={x4}，T={}；
故d的可能取值为：

Tables	y0	y1	y2	y3	y4
x4	2	4	3	4	4

故d的取值为2；故图变化为：

然后找到的路径为：x4->y0->x3不满足增广路要求。S={x3,x4}，T={y1,y2,y3,y4}，于是d的取值为

Tables	y1	y2	y3	y4
x3	1	2	2	2
x4	2	1	2	2

于是d = 1,图中增加两条路x3->y1，x4->y2更新后的图为：

然后发现还是找不到增广路经。。。所以得继重复上面的方法，就可以得出正确的解了。

代码实现

——2017.3.9 代码之后再补