动态规划

最新推荐文章于 2024-10-08 16:01:48 发布

selous

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分类专栏： ACM 文章标签：动态规划数位DP

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数位DP

数位DP描述的是这样一类问题，在区间[a,b]中，求满足某个条件的数的个数。在空间小的时候，我们可以采用遍历的方式，但是在数据量太大，而且计算较复杂的时候，遍历的方法就会超时，所以我们就引入了数位DP的思想去解决。
在网上给的数位DP的模板中，有两种解题思想。一种是基于DFS，自上而下，记忆化搜索解决这个问题，另一种就是基于动态规划，自下而上去解决这个问题。
下面我们讲解的基于DFS，通过记忆花搜索去解决这个问题。

模板

可以将一个区间看做一棵树，比如对于区间[0,b]，b是有 $b_{n-1}...b_0$ 组成，那么树根节点为一个空节点，那么第一层就为 $0...b_{n-1}$ ，第二层当父节点为 $0...b_{n-1}-1$ 的时候子节点为 $0...9$ ,父节点为 $b_{n-1}$ 的时候子节点为 $0...b_{n-2}$ 对于区间[0,b]中所有的元素就是深度优先遍历到所有叶子节点的所有路径。

在往下看之前，一定要理解这个树是什么样子的，下面补一张[0,25]的树的图你会发现从更节点向下DFS遍历的结果就是区间内所有的取值。

这里写图片描述

/*input:
    pos;当前位置
    state；当前状态
    limit；是否收到限制，比如图中的节点2的子节点就受限只能取到0～5.
*/
int dfs(int pos, int state, bool limit) {
    if (pos==-1) return state==target_state;//如果当前位置为-1，表示遍历到了树的最后一层，如果此时的状态与目标状态相同，那么输出1
    if (!limit && df[pos][state]！=-1) return df[pos][state];//由于dp[pos][state]只记录那些受限制的位置的值，所以必须该位置不受限制才能使用这个值。
    int res = 0;
    int u = limit?num[pos]:9;
    for (int d = 0; d <= u; ++d)
    //判断下下一位是否受限制的标准的是该位受限制，且下一位也受限制，比如三位数635，建树的时候只有当第一层节点为6，第二层节点为3的时候，下一个节点才会受限到0~5；
        res += dfs(pos-1, new_s(s, d), limit&&d==u);
    if(!limit) df[pos][state]=res;//dp[pos][state]只记录那些受限制的位置的值。
    return res;
}

我们在该树下进行DFS遍历，然后通过df数组记录遍历过的节点的值，在之后遇到与之前状态相同的节点时候直接利用前面计算过的数值，就不需要重复计算了，也就是记忆化搜索。

简单的例子

对于[0,25]区间内所有的数字，不包含2的数字有多少个。小学生都知道有18个，但是我们可以用来模拟DP的操作过程，例子简单，没有办法模拟limit的过程了，其实读者可以自己模拟一下，只要将其看成树，理解起来是很简单的。
pos取值：0和1，表示数位。state是我们设置的，一般数位DP比较巧妙的就是如何设置不同的状态，去解决问题。这题我们设置
state：1，前i位有2；0，前i位不存在2

dp[pos][state]：表示的就是pos为满足state的个数。

这里写图片描述

先遍历到最左下角的0，然后dp1=1;然后继续遍历了所有的0的子节点然后dp0=9;于是开始遍历节点1，此时由于节点1的pos也是0而且state也0所以直接返回节点1的值也为9，所以节点1就不需要计算可以直接返回了。讲的不是很清楚，如果看不懂就直接看题。看多了自然会明白了。（核心就是，图中的节点有一些虽然看起来不一样，但是在一些实际问题中，是一样的，比如上题，其实根节点的01两个子树其实本质是一样的，只需要计算一次就可以。）

代码实现

实现包含49的个数。

部分代码：

#include <iostream>
using namespace std;
#define MAXNUM 20
int a[MAXNUM];//储存每一位的最大值
int dp[MAXNUM][3];//0:没有49,且末尾不是4，1:没有49，且末尾是4,2:是49
int stateTrans(int state,int i){
    //状态转换
    if(state==0&&i==4)//如果当前为状态为0，且当前位为4
        return 1;
    if(state==1&&i==9)
        return 2;
    if(state==1&&i!=4&&i!=9)
        return 0;
    return state;
}
//这道题可以不用pre
int dfs(int pos,int pre,int state,bool limit){

    //计算到最后一位，那么判断state的值
    if(pos==-1) return state==2;
    //如果没有限制，并且已经计算过了，就直接返回对应值
    /*比如在求第5位的时候，如果第五位不是最大值，那么后四位就可以取所有的合法值，
     * 如果第五位去最大值，其对后四位的取值就有影响，也就是后四位不能取遍所有的值0*/
    if(!limit&&dp[pos][state]!=-1) return dp[pos][state]; //记忆化搜索的使用

    int i =0;
    int tmp = 0;
    //该pos位所有的可能取值
    for(;i<=a[pos];i++){
        state = stateTrans(state,i);//根据i位状态转换
        tmp+=dfs(pos-1,i,state,limit&&(i==a[pos]));
    }
    if(!limit) dp[i][state]=tmp;
    return tmp;

}
void solve(int x){
    int pos = 0;
    while(x){
        a[pos++] = x%10;
        x = x/10;
    }
    dfs(pos-1,0,0,1);
}