卷积（一）

写在开头：第一次接触到卷积还是在概率论里面，写在不管是卷积神经网络，还是图像处理里面的卷积运算，都已经涉及到这个概念。所以就想弄懂卷积是干什么的，看了网易的公开课，还不错，记录一下。——2016.12.15

公开课视频的地址，讲的很基础。

先不给出卷积公式，我们来看看卷积的定义。

拉普拉斯变化

$Laplace\ transform：$

$$F(s)=\int_0^{+\infty}f(t)e^{-st}dt$$
假设：
$$F(u)=\int_0^{+\infty}f(u)e^{-su}du \\ G(v)=\int_0^{+\infty}g(v)e^{-sv}dv$$
那么： $F(u) \times G(v)=?$

先直接给出答案：$\int_0^{+\infty}e^{-st}(f*g)dt$ 这就是卷积的定义

先闲聊两句：我们都知道拉普拉斯变化不管是解微分方程还是信号处理里面都有着重要的应用，那么两个频域函数的乘积在时域上的表示也就是两个对应函数在时域的卷积，可以见得卷积函数的重要性！！！

一个离散的类比

$$F(s)=\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n \\ G(s)=\sum_{n=0}^{\infty}b_nx^n$$
如果我们将 $n$看做是$t$， $x$看做$e^{-s}$,那么积分就可以看做，这些离散变量的求和。
那么假设：
$$F(s)G(s)=\sum_{n=0}^{\infty}c_nx^n$$
幼稚的问题就是 $c_n$和 $a_n,b_n$是什么关系呢。由上面的类推就可以知道 $$c_n=a_n*b_n$$

其实上面这个公式就是如何求两个离散向量的卷积，最简单也是好理解的就是，转化成多项式，然后乘起来。

卷积公式

$convolution：$

$$f(t)*g(t) = \int_0^t f(u)g(t-u)du$$
这是卷积的公式。

卷积是什么

我们从几个简单的例子去看卷积：

计算$t^2*t$

熟悉拉普拉斯变化的知道：

$$\mathcal{L}t^2=\frac{2}{s^3}\\ \mathcal{L}t=\frac{1}{s^2}$$
那么：
$$\mathcal{L}t^2 \times \mathcal{L}t=\frac{2}{s^5}$$
最终可以得到：
$$\mathcal{L}^{-1}(\mathcal{L}t^2 \times \mathcal{L}t)=\mathcal{L}^{-1}(\frac{2}{s^5})=\frac{t^4}{12}$$
这个例子中可以直观的看出：

$f(u)*g(v)=\mathcal{L}^{-1}(F(u)G(v))$

计算$f(t)*1$

通过卷积公式可以知道：

$$f(t)*1=\int^t_0f(u)\times 1du$$
很明显，这个时候的卷积就是 $f(t)$在 $0～t$上的的积分

推导公式

可以看出来，卷积于拉普拉斯变化是有很大的关系的

卷积的物理意义

放射性物质倾倒的问题

挺像一个水池，一边进水，一边放水的例子。。。

卷积的扩展

一维向量的卷积

已知：

$$a=[1,2,3] \\ b=[1,2]$$
则：

%matlab代码
c = conv(a,b);
//c=[1,4,7,6]
%same
c = conv(a,b,'same');
//c=[4,7,6]
%当type='same'时，就是c的维数与a相同，取[1,4,7,6]中间的三个数，优先向后取。

二维矩阵的卷积

    A = [17  24   1   8  15           
         23   5   7  14  16                     
          4   6  13  20  22                    
         10  12  19  21   3           
         11  18  25   2   9]
    h = [8   1   6
        3   5   7
         4   9   2]
    %计算卷积的时候，可以将A周围包裹d（h）-1层0，这样计算的值才是对的
    conv2(A,h);
    conv2(A,h,'same');

盗用这篇博客上面的例子。如果想看具体的图像处理在二维卷积中的应用，可以看上面那篇博客。

图像处理中卷积的作用：引用知乎上的一句话，Change the value of a single pixel according to it neighbourhoods。所以对应不同的卷积核，会有着不同的作用。
例如：图像处理里面用于边缘检测的sobel边缘算子，模糊处理的卷积核。。。

——2016.12.15