74、图性质测试与大规模增长模型模拟

图性质测试与大规模增长模型模拟

在图论和统计物理领域，图性质测试和大规模增长模型模拟是两个重要的研究方向。本文将介绍图性质测试中的相关理论和算法，以及大规模增长模型模拟的方法和应用。

图性质测试

在图性质测试中，我们关注的是如何通过测试图的子图来判断图是否具有某种性质。这里涉及到几个关键概念和算法。

自然测试与规范测试

对于满足一定条件的图性质 $\Pi$，我们设计了算法 2，它是 $\Pi$ 的规范测试，查询子图的阶为 $s_1 = 12 \left\lfloor 31s^2 \right\rfloor$。根据引理 6，对于所有图阶 $n \geq s_1$，它接受和拒绝的查询子图集相同，是一种自然测试。

测试过程中的概率分析

在测试过程中，我们会进行一系列的概率分析。例如，对于图 $H$ 和 $H’$，通过马尔可夫不等式和三角不等式等工具，我们可以得到一些关于测试接受概率的结论。
- 首先，有不等式：
[
\begin{align }
\mathbb{E} {H’} \left[ \Pr {H_s \sim D_{s_0}} \left( H’ : H_s \in \Pi_{n’} \right) \right] &\leq \Pr_{H_s \sim D_{s_0}} \left( H : H_s \in \Pi_{n’} \right) + \left| \mathbb{E} {H’} \left[ \Pr {H_s \sim D_{s_0}} \left( H’ : H_s \in \Pi_{n’} \right) \right] - \Pr_{H_s \sim D_{s_0}} \left( H : H_s \in \Pi_{n’} \right) \right|\
&< \Pr_{H_s \sim D_{s_0}} \left( H : H_s \in \Pi_{n’} \right) + \delta < \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{1}{3}
\end{align }
]
再由马尔可夫不等式可得：
[
\Pr_{H’} \left( \Pr_{H_s \sim D_{s_0}} \left( H’ : H_s \in \Pi_{n’} \right) \geq \frac{2}{3} \right) < \frac{1}{2}
]
这表明存在正概率使得 $H’$ 既与 $\Pi$ 非常接近，又以至多 $\frac{2}{3}$ 的概率被 $s_0$ - 测试接受。
- 然后，对于与 $H’$ 距离至多为 $\frac{1}{6} \binom{s_0}{2}^{-1}$ 的图 $\tilde{H}’$，根据引理 2，它们的阶为 $s_0$ 的子图分布是 $\frac{1}{6}$ - 接近的，即：
[
\left| \Pr_{H_s \sim D_{s_0}} \left( \tilde{H}’ : H_s \in \Pi_{n’} \right) - \Pr_{H_s \sim D_{s_0}} \left( H’ : H_s \in \Pi_{n’} \right) \right| < \frac{1}{6}
]
进而可以得到：
[
\Pr_{H_s \sim D_{s_0}} \left( \tilde{H}’ : H_s \in \Pi_{n’} \right) \leq \Pr_{H_s \sim D_{s_0}} \left( H’ : H_s \in \Pi_{n’} \right) + \left| \Pr_{H_s \sim D_{s_0}} \left( H’ : H_s \in \Pi_{n’} \right) - \Pr_{H_s \sim D_{s_0}} \left( \tilde{H}’ : H_s \in \Pi_{n’} \right) \right| < \frac{2}{3} + \frac{1}{6} = \frac{5}{6}
]
但这与原测试的错误概率矛盾，因为原测试必须以至少 $1 - \frac{1}{36} > \frac{5}{6}$ 的概率接受 $\tilde{H}’$（$\tilde{H}’$ 属于 $\Pi$）。所以算法 2 不会在阶为 $n’$ 时拒绝 $H$。

开放问题

图性质测试领域还存在一些开放问题：
- 非规范测试的自然化 ：能否在不使测试变为非自适应和规范的情况下，将非规范测试变为自然测试？
- 通过测试小子图来测试大图 ：对于遗传性质的测试，是否可以仅通过确保随机小诱导子图具有该性质来替代原测试？我们已经证明了遗传性、可膨胀性或单侧可测试性是该结论成立的充分条件，那么这些条件或类似条件是否也是必要的？
- 非自然测试的益处 ：一些可测试性质在自适应和非自适应测试的查询复杂度之间存在非恒定因子的差距，自然测试是否也存在这种情况？能否找到具有差距的特定性质，或者不存在差距的“非人为构造”的性质？
- 更合适的可膨胀性概念 ：目前膨胀和（完美）可膨胀性的定义有些随意，例如空图是可膨胀的，但完全图不是。对于 $H$ - 自由性质（当 $H$ 是较小图的膨胀时）也不是可膨胀的，但这些性质在平均意义上是可膨胀的。能否设计一个更合适的可膨胀性概念，既能涵盖这些性质，又能实现类似于定理 1 中的“自然化”？

大规模增长模型模拟

大规模增长模型模拟主要研究如何高效地计算某些增长模型的最终状态。

相关模型介绍

我们研究的是阿贝尔栈模型，这是一种图上的增长过程，其特殊情况包括内部扩散限制聚集（IDLA）和转子 - 路由器聚集。
- IDLA ：从二维方格网格 $\mathbb{Z}^2$ 的原点放置 $N$ 个芯片开始，每个芯片依次进行简单随机游走，直到到达一个未被占据的位置。IDLA 可以模拟诸如热源周围的固体熔化、电化学抛光和流体在 Hele - Shaw 细胞中的流动等物理现象。当 $N \to \infty$ 时，$N$ 个被占据位置形成的簇的渐近形状是一个圆盘（在更高维度是欧几里得球）。确定 IDLA 簇边界波动的大小是统计物理中的一个长期开放问题。目前已知二维中波动的阶至多为 $\log N$，但还需证明波动至少有这么大。
- 转子 - 路由器聚集 ：由 James Propp 提出，是对 IDLA 的一种去随机化方法。在 $\mathbb{Z}^2$ 的每个格点上有一个可以指向北、东、南或西的转子。芯片到达一个位置后，先将该位置的转子逆时针旋转，然后沿着新转子的方向移动。从原点开始的 $N$ 个芯片以这种方式移动，直到到达未被占据的位置。无论初始转子配置如何，其渐近形状是一个圆盘（在更高维度是欧几里得球），内部波动被证明为 $O(\log N)$，实际波动似乎增长更慢，甚至可能与 $N$ 无关。

计算里程计函数

里程计函数是分析这两个模型的核心工具，它衡量每个位置发出的芯片数量。通过一个称为栈拉普拉斯算子的非线性算子，里程计函数可以确定最终被占据簇的形状。
- 栈拉普拉斯算子定义 ：对于函数 $u: V \to \mathbb{N}$，其栈拉普拉斯算子 $\Delta_{\rho} u: V \to \mathbb{Z}$ 定义为 $\Delta_{\rho} u(x) = \sum_{t(e)=x} R_{\rho}(e, u(s(e))) - u(x)$，其中 $R_{\rho}(e, n)$ 表示在顶点 $s(e)$ 的栈中，前 $n$ 个转子（不包括顶部转子 $\rho_0(s(e))$）中等于 $e$ 的次数，求和是对所有目标顶点为 $t(e) = x$ 的边 $e$ 进行的。
- 芯片配置更新 ：给定初始芯片配置 $\sigma_0$，在每个位置 $x$ 进行 $u(x)$ 次触发后，芯片配置 $\sigma$ 由 $\sigma = \sigma_0 + \Delta_{\rho} u$ 给出。触发后栈顶的转子配置为 $Top_{\rho}(u)(x) = \rho_{u(x)}(x)$。

算法方法

我们的算法基于“最小作用原理”，从里程计函数的近似值开始，逐步纠正低估和高估，最终得到正确的最终状态。算法的加速程度取决于初始猜测的准确性。
[
\begin{mermaid}
graph TD;
A[初始芯片配置(\sigma_0)和转子栈((\rho_k(x)) {k \geq 0})] –> B[获取里程计函数(u)的初始近似值];
B –> C[根据(u)计算(\Delta {\rho} u)];
C –> D[更新芯片配置(\sigma = \sigma_0 + \Delta_{\rho} u)];
D –> E{是否满足终止条件};
E – 否 –> F[纠正(u)的低估和高估];
F –> C;
E – 是 –> G[输出最终芯片配置(\sigma)];
\end{mermaid}
]

应用效果

传统的逐步模拟方法在 $\mathbb{Z}^2$ 中计算被占据簇的运行时间为 $O(N^2)$。使用我们的新算法，转子 - 路由器模型的观察运行时间约为 $N \log N$，IDLA 约为 $N^{1.5}$。
- 对于 IDLA，通过生成许多独立的簇，我们可以估计其与圆形的波动大小，数据强烈支持二维中 IDLA 最大波动的阶是关于 $N$ 的对数。虽然理论上最大波动的上界为 $C \log N$（$C$ 较大），但我们的模拟表明最大波动约为 $0.528 \ln N$。
- 对于转子 - 路由器聚集，我们的模拟比以前的结果提高了四个数量级，能够生成聚集过程结束时栈顶转子形成的复杂图案的精细示例。我们甚至生成了一个 $N = 10^{10}$ 个芯片的四色 10 - 千兆像素图像，由于文件太大，需要使用 Google 地图覆盖层让用户进行缩放和滚动查看。

综上所述，图性质测试和大规模增长模型模拟在理论和应用方面都有重要的研究价值，并且还有许多开放问题等待进一步探索。

图性质测试与大规模增长模型模拟（续）

图性质测试深入分析

为了更清晰地理解图性质测试中的概率分析过程，我们可以将其步骤进行详细拆解。以下是对图性质测试中概率分析步骤的梳理：
1. 第一步：初步不等式推导
- 从式子(\mathbb{E} {H’} \left[ \Pr {H_s \sim D_{s_0}} \left( H’ : H_s \in \Pi_{n’} \right) \right] \leq \Pr_{H_s \sim D_{s_0}} \left( H : H_s \in \Pi_{n’} \right) + \left| \mathbb{E} {H’} \left[ \Pr {H_s \sim D_{s_0}} \left( H’ : H_s \in \Pi_{n’} \right) \right] - \Pr_{H_s \sim D_{s_0}} \left( H : H_s \in \Pi_{n’} \right) \right|)开始，这是基于期望和概率的基本性质。
- 已知(\Pr_{H_s \sim D_{s_0}} \left( H : H_s \in \Pi_{n’} \right) + \delta < \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{1}{3})，这里的(\delta)是一个满足条件的小量，从而得到(\mathbb{E} {H’} \left[ \Pr {H_s \sim D_{s_0}} \left( H’ : H_s \in \Pi_{n’} \right) \right]<\frac{1}{3})。
2. 第二步：马尔可夫不等式应用
- 根据马尔可夫不等式(\Pr_{H’} \left( \Pr_{H_s \sim D_{s_0}} \left( H’ : H_s \in \Pi_{n’} \right) \geq \frac{2}{3} \right) < \frac{1}{2})，这一步利用马尔可夫不等式对概率进行了进一步的约束，表明(H’)被接受的概率大于等于(\frac{2}{3})的可能性较小。
3. 第三步：子图分布接近性分析
- 对于与(H’)距离至多为(\frac{1}{6} \binom{s_0}{2}^{-1})的图(\tilde{H}’)，由引理 2 可知它们的阶为(s_0)的子图分布是(\frac{1}{6}) - 接近的，即(\left| \Pr_{H_s \sim D_{s_0}} \left( \tilde{H}’ : H_s \in \Pi_{n’} \right) - \Pr_{H_s \sim D_{s_0}} \left( H’ : H_s \in \Pi_{n’} \right) \right| < \frac{1}{6})。
4. 第四步：三角不等式应用与矛盾推导
- 利用三角不等式(\Pr_{H_s \sim D_{s_0}} \left( \tilde{H}’ : H_s \in \Pi_{n’} \right) \leq \Pr_{H_s \sim D_{s_0}} \left( H’ : H_s \in \Pi_{n’} \right) + \left| \Pr_{H_s \sim D_{s_0}} \left( H’ : H_s \in \Pi_{n’} \right) - \Pr_{H_s \sim D_{s_0}} \left( \tilde{H}’ : H_s \in \Pi_{n’} \right) \right|)，结合前面的结果得到(\Pr_{H_s \sim D_{s_0}} \left( \tilde{H}’ : H_s \in \Pi_{n’} \right)< \frac{2}{3} + \frac{1}{6} = \frac{5}{6})。
- 但原测试必须以至少(1 - \frac{1}{36} > \frac{5}{6})的概率接受(\tilde{H}’)（因为(\tilde{H}’)属于(\Pi)），从而产生矛盾，得出算法 2 不会在阶为(n’)时拒绝(H)的结论。

下面我们用表格来总结这些步骤：
|步骤|操作|依据|结果|
| ---- | ---- | ---- | ---- |
|第一步|推导初步不等式|(期望和概率基本性质)|(\mathbb{E} {H’} \left[ \Pr {H_s \sim D_{s_0}} \left( H’ : H_s \in \Pi_{n’} \right) \right]<\frac{1}{3})|
|第二步|应用马尔可夫不等式|(马尔可夫不等式)|(\Pr_{H’} \left( \Pr_{H_s \sim D_{s_0}} \left( H’ : H_s \in \Pi_{n’} \right) \geq \frac{2}{3} \right) < \frac{1}{2})|
|第三步|分析子图分布接近性|(引理 2)|(\left| \Pr_{H_s \sim D_{s_0}} \left( \tilde{H}’ : H_s \in \Pi_{n’} \right) - \Pr_{H_s \sim D_{s_0}} \left( H’ : H_s \in \Pi_{n’} \right) \right| < \frac{1}{6})|
|第四步|应用三角不等式并推导矛盾|(三角不等式)|(\Pr_{H_s \sim D_{s_0}} \left( \tilde{H}’ : H_s \in \Pi_{n’} \right)< \frac{5}{6})，与原测试接受概率矛盾|

大规模增长模型模拟的深入探讨

阿贝尔栈模型的形式化描述

阿贝尔栈模型基于一个有限或无限的有向图(G = (V, E))，每个顶点(x \in V)有一个无限的转子栈((\rho_n(x)) {n \geq 0})，其中每个转子(\rho_n(x))是从(x)发出的边（即(s(\rho_n(x)) = x)）。有限个不可区分的芯片根据初始配置分散在图的顶点上。
- 芯片移动规则 ：第一个访问顶点(x)的芯片会被吸收，后续到达(x)的芯片会先将栈移动到((\rho {n + 1}(x))_{n \geq 0})，然后沿着当前栈顶转子(\rho_1(x))的另一个端点(y = t(\rho_1(x)))移动。这个过程称为触发顶点(x)。
- 终止条件 ：通常假设栈是无限的，即对于每条边(e)，在顶点(s(e))的栈中，有无限多个转子(\rho_n(s(e)))等于(e)。如果图是无限的，或者芯片总数不超过顶点数，那么触发最终会停止，所有芯片都会被吸收。

最小作用原理的详细解释

最小作用原理是我们算法的核心，它用于刻画里程计函数(u)。
- 相关定义 ：
- 转子配置(r: V \to E)满足(s(r(v)) = v)对于所有(v \in V)；芯片配置(\sigma: V \to \mathbb{Z})具有有限支撑。
- 对于边(e)和非负整数(n)，(R_{\rho}(e, n) = #{1 \leq k \leq n | \rho_k(s(e)) = e})表示在顶点(s(e))的栈中，前(n)个转子（不包括顶部转子(\rho_0(s(e)))）中等于(e)的次数。
- 栈拉普拉斯算子(\Delta_{\rho} u(x) = \sum_{t(e)=x} R_{\rho}(e, u(s(e))) - u(x))，表示在每个顶点(x)进行(u(x))次触发后芯片的净变化。
- 性质刻画 ：
- 给定初始芯片配置(\sigma_0)，经过(u(x))次触发后，芯片配置(\sigma = \sigma_0 + \Delta_{\rho} u)。
- 触发后栈顶的转子配置为(Top_{\rho}(u)(x) = \rho_{u(x)}(x))。
- 对于完整的合法触发序列，其里程计函数(u)满足以下性质：
- (\sigma_m(x) \leq 1)对于所有(x \in V)（因为触发停止后，每个顶点最多有 1 个芯片）。
- 对于集合(A = {x \in V : u(x) > 0})（即触发的顶点集合），(\sigma_m(x) = 1)对于所有(x \in A)（因为每个触发的顶点必须先吸收一个芯片）。
- 对于任何有限子集(A’ \subset A)，存在(x \in A’)使得(t(r(x)) \notin A’)（因为从有限子集(A’)发出的最后一个芯片必须到达(A’)之外的顶点）。

以下是根据这些步骤生成的 mermaid 流程图，展示了算法如何根据最小作用原理从初始配置计算最终状态：
[
\begin{mermaid}
graph TD;
A[初始芯片配置(\sigma_0)和转子栈((\rho_k(x)) {k \geq 0})] –> B[获取里程计函数(u)的初始近似值];
B –> C[根据(u)计算(\Delta {\rho} u)];
C –> D[更新芯片配置(\sigma = \sigma_0 + \Delta_{\rho} u)];
D –> E{检查(\sigma)和(Top_{\rho}(u))是否满足性质};
E – 否 –> F[纠正(u)的低估和高估];
F –> C;
E – 是 –> G[输出最终芯片配置(\sigma)和转子配置(Top_{\rho}(u))];
\end{mermaid}
]

与相关工作的联系

在相关工作方面，转子 - 路由器行走与随机行走有很多相似之处。与随机行走不同，转子 - 路由器行走中每个顶点以固定顺序服务其邻居，但在多个方面仍然与随机行走非常相似。
- 应用场景 ：转子 - 路由器机制在算法应用中有很多改进，例如自主代理巡逻领土、外部归并排序、网络信息广播和迭代负载均衡等。
- 算法灵感来源 ：我们的算法受到了一些前人工作的启发，例如 Wilson 算法用于采样有向图的随机生成树，以及 Moore 和 Machta 的并行算法用于 IDLA。此外，阿贝尔栈是阿贝尔网络的特殊情况，我们相信可以将我们的方法扩展到其他类型的阿贝尔网络，如 Bak - Tang - Wiesenfeld 沙堆模型。

综上所述，图性质测试和大规模增长模型模拟在理论和实际应用中都有丰富的内容和广阔的研究前景。图性质测试中的开放问题有待进一步探索，而大规模增长模型模拟的算法在提高计算效率和解决实际问题方面有很大的潜力。