70、高效概率可检验辩论：理论与技术探索

高效概率可检验辩论：理论与技术探索

1. 不可近似性关联

概率可检验辩论不仅本身具有研究价值，还与近似问题的复杂性密切相关。PCP定理及其后续的诸多改进，是证明许多NP优化问题近似困难性的关键。对于判定版本属于NP的优化问题，大部分已知的NP难近似结果都依赖于PCP定理。

同样，定理2表明，许多属于PSPACE的自然计算问题实际上是PSPACE难近似的。例如，给定一个3 - CNF公式ψ(x1, …, xn)，考虑一个博弈：两个玩家轮流为变量赋值，第i轮为xi赋值。玩家1希望最大化满足子句的比例，玩家0则希望最小化该比例。用Val(Gψ)∈[0, 1]表示玩家1在这个博弈中的价值。利用定理1可以证明，判定Val(Gψ) = 1是否成立是PSPACE完全问题。而根据定理2，存在一个常数ε > 0，区分Val(Gψ) = 1的公式和Val(Gψ) < 1 - ε的公式是PSPACE难的。

不过，这个结果并不完全令人满意，因为涉及的归约虽然是多项式时间的，但会导致3 - CNF实例规模出现较大的多项式膨胀。这种膨胀导致了条件困难性结果相对较弱。假设对于描述长度为n的3 - CNF公式ψ，任何正确判定Val(Gψ) = 1的算法在无限多次（“i.o.”）情况下需要时间≥T(n)，其中T(n) = nω(1)。那么，定理2意味着对于足够小的ε > 0，任何实现对Val(Gψ)进行ε - 近似的算法在无限多次情况下需要运行时间T(na)，其中a < 1是一个明确的绝对常数。

原始PCP定理的归约也存在类似的参数膨胀问题。但最近，Dinur给出了一个针对长度为n的SAT实例的[log2 n + log2(polylog(n)), O(1)] - 概率可检验证明系统。这为SAT问题带来了更严格的条件困难性陈述：从SAT算法运行时间的i.o. - 下界T(n) = nω(1)，可以得到对描述长度为n的3 - CNF公式中可满足子句最大比例进行ε - 近似的算法运行时间的i.o. - 下界T(n / logc(n))，其中c, ε > 0是明确的常数。

2. 主要结果

主要结果是对定理2的定量加强，表明多项式时间辩论可以以随机高效的方式进行概率可检验，辩论字符串的大小与原始验证器的电路复杂度几乎呈线性关系。

定理3（主要定理） ：假设语言L有一个多项式时间辩论系统，其验证器可以由多项式时间可构造的布尔电路实现，电路大小为s = s(n) ≤ poly(n)。那么L有一个[log2 s + log2(polylog(s)), O(1)] - 受限PCDS，辩论字符串的总比特长度为O(s)。

许多自然的PSPACE完全问题，如QBF - SAT（在任何标准编码下的真量化布尔公式集合），其普通辩论系统的电路大小s(n) = O(n)。对于这类问题，定理3给出了一个PCDS，其辩论字符串比特长度为O(n)，随机性为log2(n) + log2(polylog(n))。利用定理3，对于3 - CNF公式ψ，判定Val(Gψ) = 1的i.o. - 下界T(n) = nω(1)可以推出对Val(Gψ)进行ε - 近似的算法运行时间的i.o. - 下界T(n / logc(n))，其中c, ε > 0是明确的常数。

任何在空间S(n) ≤ poly(n)内可解的语言都有一个多项式时间辩论系统，该系统可由大小为s(n) = O(S(n)2)的均匀电路定义。因此，对于这类语言，可以得到一个辩论比特长度为O(S(n)2)的PCDS。

定理3中的PCDS构造在随机效率方面接近我们所能期望的最佳水平（对于一般的L和s），除非有重大的算法突破。如果随机性复杂度能降低到(1 - Ω(1)) log2(s)，就可以利用得到的QBF - SAT的PCDS在时间2n1 - Ω(1)内解决长度为n的QBF - SAT实例。

自然会想知道定理3中的PCDS中的辩论字符串是否总能使其比特长度以普通辩论字符串的比特长度ℓ = ℓ(n)为界（ℓ可能比s小得多）。任何形式为poly(ℓ)的界都会非常有趣，但这似乎不太可能。在概率可检验证明理论中，类似的问题是能否用长度为poly(q)的PCP证明q变量SAT实例的可满足性；Fortnow和Santhanam表明，除非NP ⊆ coNP/poly，否则这是无法做到的。

定理3的证明相当冗长和复杂，这里只描述主要思想，详细内容可在在线完整版本中找到。

3. 技术方法

为了证明定理3，提出了一种将标准辩论系统转换为概率可检验辩论系统的新方法，该方法分为两个步骤：
1. 将标准辩论转换为具有“稳定性”属性的辩论
2. 将稳定辩论转换为概率可检验辩论

3.1 通过容错通信实现稳定辩论

对于语言L的辩论系统V(x, ·)，如果对于任何x∉L，玩家0不仅能迫使V(x, y) = 0，还能使辩论字符串y在相对汉明距离上与任何满足V(x, y′) = 1的y′相距Ω(1)，则称该辩论系统是稳定的（这种稳定性概念相对于玩家是不对称的）。

稳定性概念在之前的一些工作中曾被隐式或显式地使用过。但在之前构建多轮PCDS的工作中，辩论被赋予类似稳定性的属性的方式效率较低：大致来说，在辩论的每一轮，当前玩家需要给出所有先前动作以及当前动作的描述。这导致了整体辩论字符串长度的二次膨胀（除了转换过程中其他步骤的膨胀）。

在将辩论转换为稳定辩论的过程中，避免了这种冗余。通过将其与交互式编码（容错双向通信理论）建立新的联系来实现。交互式编码由Schulman开创，他证明了任何两方通信协议都可以转换为即使在存在明显对抗性噪声（一个可以自适应地破坏两方之间传输的1/240比特的对手）的情况下仍能成功的协议。而且，这种转换只会使总通信量增加一个常数因子。Schulman的强大结果似乎无法从标准的单向容错通信工具（即纠错码）中获得。

最近，Braverman和Rao给出了一种新的编码方法来实现相同的目标。他们的编码可以纠正更大比例的对抗性损坏符号：如果传输的是比特，几乎可以纠正1/8；如果使用更大但固定大小的消息字母表，则几乎可以纠正1/4。更重要的是，他们的编码相对简单，更容易处理。

在应用交互式编码时，从语言L的普通辩论系统开始，该系统由大小为s(n)的均匀电路实现的验证器V定义。然后将V转换为第二个验证器Vstab，在这个验证器中，两个辩论者“被迫”使用Braverman - Rao编码对他们的辩论进行编码。可以证明，编码的容错属性可以确保Vstab的稳定性。

为了迫使辩论者遵循所需的编码，构建了一个辅助的“编码检查器”辩论系统，允许玩家辩论一个通信记录是否对应于Braverman - Rao协议的无噪声忠实执行。这个编码检查器辩论系统有两个重要属性：
1. 轮数少 ：只持续O(1)轮。这很重要，因为一个O(1)轮的辩论可以通过要求将动作编码为纠错码（使用Spielman给出的高效可解码码）很容易地实现稳定。有了这个稳定的编码检查器辩论，就可以使整个辩论稳定。
2. 验证器高效 ：有一个非常高效的验证器，可由大小为O(ℓ)的布尔电路定义，其中ℓ是被检查的通信记录的比特长度。因此，稳定验证器Vstab可以由大小为O(s(n))的电路实现，这种近乎线性的效率在将辩论转换为概率可检验辩论的第二步中非常重要。

构建具有这两个强属性的编码检查器辩论是主要的技术挑战。

下面是将标准辩论转换为稳定辩论的流程图：

graph LR
    A[标准辩论系统V] --> B[使用Braverman - Rao编码]
    B --> C[构建编码检查器辩论系统]
    C --> D[实现稳定辩论系统Vstab]

3.2 从稳定辩论到概率可检验辩论

在第二步转换中，将稳定辩论y = (y1, …, yk)扩展一轮，在这一轮中玩家1给出一个“证明”字符串z，声称Vstabx(y) := Vstab(x, y) = 1。然后定义一个验证器V*，给定x，它概率性地检查y和z的O(1)比特。对于这个证明/验证任务，使用了一种强大的PCP变体，即概率可检验接近性证明（PCPPs），并将其应用于稳定验证器Vstabx的电路。

如果x∈L，玩家1能够赢得稳定辩论，即Vstabx(y) = 1，那么存在一个证明z使V 确定性地接受。另一方面，如果x∉L，根据稳定性，玩家0可以保证y与任何满足Vstabx = 1的辩论字符串集合都不接近。这正是PCPPs定义中保证V 对于任何z设置都以显著概率拒绝的条件。因此，概率验证器V*定义了语言L所需的PCDS。

验证器的效率由两个因素决定：所使用的PCPP构造的效率和应用PCPP的Vstabx电路的大小。幸运的是，Dinur给出了一种非常高效的PCPP构造，而且稳定辩论的高效构造确保了Vstabx的电路大小为O(s(n))。这使得验证器和辩论字符串具有定理3中声称的属性。

下面是从稳定辩论到概率可检验辩论的流程图：

graph LR
    E[稳定辩论y] --> F[玩家1给出证明字符串z]
    F --> G[定义验证器V*]
    G --> H[概率可检验辩论系统]

3.3 构建编码检查器辩论

构建“编码检查器”辩论以检查给定方（Alice）在通信记录上的行为是否对应于Braverman - Rao协议的正确执行。

这里存在一些复杂情况。首先，Braverman - Rao协议甚至不知道是否有多项式时间的实现，更不用说近乎线性时间的实现了。该协议关键依赖于一种特殊类型的代码，即Schulman定义的树码。树码有一个“距离”参数，类似于纠错码的最小距离参数。目前还不知道有足够大距离的树码的显式构造（最近有一个亚指数时间的构造），但Schulman给出了一种优雅的概率构造。这种构造的随机性效率很高，因此存在具有简洁表示的好树码。在辩论系统中，计算能力无界的辩论者可以简洁地提出一个树码，并通过辩论证明它具有所需的距离属性。

Braverman - Rao协议要求通信方解码被损坏的树码编码消息。在通信受到对抗性损坏的模型中，不知道这种解码是否可以在多项式时间内完成。但可以再次利用计算能力无界的辩论者的能力，这次是辩论树码编码和解码的正确值。

需要注意的是，树码对于交互式编码是否必要还不清楚。最近，Moitra和Gelles与Sahai分别表明，可以将树码的定义放宽为一种更弱但仍然有用的对象，这种对象更容易构造，从而在随机信道噪声模型中实现计算高效的交互式编码方案。但在对抗性噪声模型中实现高效性仍然是一个重要的开放问题。

在Braverman - Rao协议中，每个玩家的正确行为是相对于通信任务的某个输入定义的。在应用中，预期输入是原始辩论V中玩家的策略（Alice可以选择她的输入/策略）。这种策略是一个指数大小的对象，甚至无法在编码检查器辩论中写下。幸运的是，Braverman - Rao协议的任何特定执行只依赖于策略的一小部分。这对我们很有帮助，尽管简单地对相关部分进行编码对于我们的目的来说不够简洁。

玩家Alice在执行Braverman - Rao协议时会维护数据，这些数据需要在编码检查器辩论中表示。幸运的是，这些数据采用了一个在固定大小字母表上的符号序列(a1, a2, …)的简单形式，其中ai在第i轮通信中定义且不再修改。这使得辩论者可以简洁地呈现Alice执行的全局描述。然而，ai是根据先前的值和从Bob接收到的消息以复杂的方式定义的。为了理解如何高效地辩论ai的正确设置，对Braverman - Rao协议中用于简洁描述完全二叉树中边的子集的方法进行了详细研究。编码检查器辩论系统是由一系列用于推理这种描述方法及其在协议中应用的简单辩论构建而成的。

高效概率可检验辩论：理论与技术探索

4. 未来工作的问题探讨

在当前研究的基础上，仍有许多问题值得进一步探索，这些问题的解决将有助于提高概率可检验辩论系统的效率和性能，以下是一些具体的问题：
1. 提高辩论系统效率 ：目前使用的是Spielman的纠错码家族，其可由大小为O(n log n)的电路从恒定比例的错误中解码。若能开发出可由线性大小电路解码的良好纠错码，就能从辩论字符串长度中消除一个对数因子。这样一来，概率可检验辩论系统（PCDS）的效率将基本与最佳的概率可检验接近性证明（PCPPs）相匹配。
2. 优化辩论轮数 ：在辩论转换过程中，未尝试最小化轮数的增加。与其他方法类似，如果起始辩论的回合严格交替且每回合仅包含单个比特，那么两种方法都会使轮数增加一个常数因子；若并非如此，轮数可能会大幅增加。目前尚未对模拟有限回合（每回合传输多位）的通信协议时，实现容错通信所需的回合数进行深入研究。能否在使回合数和总通信量仅增加一个常数（或至少缓慢增长）因子的情况下，实现通信的容错性，特别是当回合的比特长度可变时，这是一个具有挑战性的问题。解决这个问题不仅有助于澄清PCDS的情况，本身也具有重要意义。
3. 界定PCDS比特长度 ：目前得到的语言L的PCDS的比特长度与普通辩论系统验证器的电路大小s(n)几乎呈线性关系，但尚未确定PCDS比特长度是否可以是原始辩论比特长度的多项式。可以尝试类比Fortnow和Santhanam关于SAT问题简洁概率可检验证明不可行性的结果，来探索这一问题可能带来的不太可能的后果。
4. 提高随机玩家辩论效率 ：之前的研究表明，交互式证明（即最大化玩家1与完全随机玩家0之间的辩论）也可以进行概率可检验。但尚不清楚这种转换是否能达到与本文中普通辩论系统转换相当的效率。若能实现，将为约束满足问题（CSPs）上随机顺序优化问题的近似复杂度提供更优的条件困难性陈述。然而，应用当前方法的困难在于，似乎没有有效的方法让随机玩家“遵循”Braverman - Rao协议。

5. 总结

本文围绕概率可检验辩论展开了深入研究，探讨了其与近似问题复杂性的关联，提出了将标准辩论系统转换为概率可检验辩论系统的新方法，并得到了主要定理3，该定理在随机效率方面接近理论最佳水平。具体内容总结如下表所示：
|研究内容|关键成果|
| ---- | ---- |
|不可近似性关联|概率可检验辩论与近似问题复杂性紧密相关，PCP定理是证明NP难近似结果的关键，近期Dinur的工作为SAT问题带来更严格的条件困难性陈述|
|主要结果|定理3定量加强了相关结论，表明多项式时间辩论可随机高效地进行概率可检验，辩论字符串大小与原始验证器电路复杂度几乎呈线性关系|
|技术方法|提出新方法将标准辩论系统转换为概率可检验辩论系统，分为将标准辩论转换为稳定辩论和将稳定辩论转换为概率可检验辩论两个步骤|
|未来工作问题|包括提高辩论系统效率、优化辩论轮数、界定PCDS比特长度和提高随机玩家辩论效率等方面|

整个研究过程的关键步骤可以用以下mermaid格式流程图表示：

graph LR
    A[不可近似性关联研究] --> B[提出主要结果定理3]
    B --> C[采用技术方法证明定理3]
    C --> D[转换为稳定辩论]
    C --> E[转换为概率可检验辩论]
    B --> F[提出未来工作问题]

通过对这些问题的持续研究和探索，有望进一步推动概率可检验辩论领域的发展，为相关优化问题的复杂性研究提供更深入的见解和更有效的方法。