54、局部可测试仿射不变性质的和

局部可测试仿射不变性质的和

1. 单轨道特征化与仿射不变性质测试

在仿射不变性质的测试中，单轨道特征化起着核心作用。对于函数 (f) 在点 (\alpha_1, \ldots, \alpha_k) 的值 (f(\alpha_1), \ldots, f(\alpha_k))，若满足给定约束（该约束会使这个 (k) 元组满足 (F_q) 上的某些线性约束），当对这些点进行仿射置换 (A) 后，查询 (A(\alpha_1), \ldots, A(\alpha_k)) 的函数值，若仍满足给定约束，则称该性质具有仿射不变性。通过尝试所有仿射置换 (A) 得到的测试集合，称为该约束在 (\alpha_1, \ldots, \alpha_k) 处的轨道。若只有函数族 (F) 中的函数满足所有这些约束，则称 (F) 具有单轨道特征化。

单轨道特征化在仿射不变性质测试中的重要性体现在两个方面：
- 已知每个 (k) - 单轨道特征化的性质都是 (k) - 局部可测试的，而一些非单轨道特征化的性质，即使可以由一组 (k) - 局部约束来刻画，也可能不是局部可测试的。
- 大多数已知的局部可测试性质似乎都具有“单轨道”性质。例如，素域上的稀疏码被证明具有单轨道特征化，Reed - Muller 性质在向量空间 (F_q^n) 上的仿射变换群下具有单轨道性质。

已知的局部可测试码还可以通过以下两种方式得到：
- 提升 ：从某个域 (F_{q^n}) 上的单轨道性质开始，将其“提升”到扩展域 (F_{q^{nm}}) 上。
- 取交集 ：可测试性质的交集仍然是可测试的，并且一定数量的单轨道