45、超图顶点覆盖与最大四重一致性问题研究

超图顶点覆盖与最大四重一致性问题研究

在计算机科学和生物学领域，超图顶点覆盖问题和最大四重一致性问题是两个重要的研究方向。下面将详细介绍这两个问题的相关研究成果。

超图顶点覆盖问题

在超图顶点覆盖问题中，我们关注的是在 $k$ - 一致 $k$ - 部超图上的顶点覆盖问题。

1. 超图的构建

   • 固定 $k \geq 3$ 以及一个任意小的参数 $\epsilon > 0$，令 $r = \lceil 10\epsilon^{-2} \rceil$。我们将构建一个 $(k + 1)$ - 一致 $(k + 1)$ - 部超图作为 $(k + 1)$ - HYPVC - PARTITE 的一个实例。
   • 该构建是从一个多层 PCP 实例 $\Phi$ 进行归约得到的，其中层数 $L = 32\epsilon^{-2}$，参数 $R$ 稍后会选取足够大的值。
   • 顶点的定义 ：设顶点集为 $V$。对于 PCP 中第 $X_l$ 层的变量 $x$，对于 $i \in [k + 1]$ 和 $j \in [r]$，$H_{x}^{ij}$ 是在域 $R_{X_l}$ 上的长码，赋予偏置测度 $\mu_{p_j}$，即 $\mu_{p_j}(v) = p_j^{|v|}(1 - p_j)^{|R_{X_l} \setminus v|}$ 对于所有 $v \in H_{x}^{ij} = 2^{R_{X_l}}$。对应于 $x$ 的顶点集是 $V[x] := \bigcup_{i = 1}^{k + 1} \b