35、机制设计中的黑盒约简技术解析

机制设计中的黑盒约简技术解析

1. 最大范围机制概述

在机制设计中，有一种最大范围（Maximum - in - Range，MIR）机制。它在不了解参与者估值的情况下，预先确定一个分配范围 $R$。对于任意估值向量 $v$，定义 $x^ =\arg\max_{x\in R}\sum_{j}v_j(x)$ 和 $x^ {-i}=\arg\max {x\in R}\sum_{j\neq i}v_j(x)$，参与者 $i$ 的支付 $p_i$ 定义为 $\sum_{j\neq i}v_j(x^ {-i})-\sum {j\neq i}v_j(x^ )$。在这种支付函数下，每个参与者如实报告自己的估值是最优策略，无论其他参与者如何报告。不过，设计最大范围机制的主要挑战在于平衡范围大小和近似因子。范围越大，近似效果越好，但计算复杂度也会增加。

2. 对称单参数机制设计

2.1 问题定义

当分配空间 $X$ 在排列下封闭时，即如果 $x\in X$，那么对于任何排列 $\pi$，$\pi\circ x=(x_{\pi(1)},\cdots,x_{\pi(n)})\in X$，单参数机制设计问题是对称的。对于对称单参数问题 $\Pi$，给定任意常数 $\epsilon>0$ 和任意 $\alpha$ - 近似算法 $A$，可以设计一个多项式时间的真实机制，其近似因子为 $(1 + \epsilon)\alpha$。

2.2 范围构造

范围 $R$ 的构造基于最大范围技术，具体步骤如下：
1. 归一化