26、格问题与不透明集问题研究

格问题与不透明集问题研究

1. 格问题：将最近向量问题（CVP）归约到最短向量问题（SVP）

1.1 定理阐述

给定一个基 $B \in Q^{m×n}$ 和一个向量 $t \in R^m$，$\gamma^2\sqrt{n}$ - CVP 问题可以在时间 $poly(n, log \gamma, max_i log |b_i|)$ 内图灵归约到 $\gamma$ - SVP 问题。

1.2 归约算法

归约算法以基 $B \in Q^{m×n}$ 和向量 $t \in R^m$ 作为输入，具体算法如下：

Algorithm 1. CVP(B, t)
(input: B ∈Qm×n, t ∈Qm)
1: if n = 1 then
2:
    Let b1 be the only column of B.
3:
    return ab1 with a ∈Z such that ∥ab1 −t∥is minimal.
4: else
5:
    z1 ← 1/(2γ) - BDD(B, t)
    (Solve this with calls to O as in Theorem 1)
6:
    v ←O(B)
7:
    {b2, . . . , bn} ←LLL(findbasis(v, B))
8:
    ∀i ∈{2, . . . , n} : (b′i)⊥v ←bi −bi|v
9:
    B′⊥v ←{(b′2)⊥v, . . . , (b′n)⊥v}
10:
    t′⊥←t −t|v
11:
    z′2 ←CVP(B′⊥v, t