12、通用与差分隐私斯坦纳树及TSP的最优下界

通用与差分隐私斯坦纳树及TSP的最优下界

在算法设计领域，传统的算法往往假设能够完全访问输入数据，并毫无限制地使用这些数据来输出最优或接近最优的解决方案。然而，在许多实际应用中，这种假设并不成立，因此需要对传统的算法设计方法进行改进。本文将深入探讨通用算法和差分隐私算法在两个基本组合优化问题——斯坦纳树问题和旅行商问题（TSP）中的应用，并给出了匹配已知上界的下界。

1. 问题背景与定义

在许多实际应用场景中，传统算法面临着新的挑战。例如，在设计连接中心节点和一组客户端节点的最便宜多播网络时，会出现两种情况：
- 第一种情况，算法不知道实际的客户端集合，但输出的多播网络必须对所有可能的客户端集合都“适用”。
- 第二种情况，算法知道客户端集合，但需要确保输出结果保护客户端的隐私。

这两种情况分别对应了通用算法和差分隐私算法的设计需求。通用算法用于在部分输入不确定或未知的情况下输出解决方案；差分隐私算法则是在部分输入由关注隐私的客户端控制的情况下，其行为受到隐私约束。

接下来，我们详细定义斯坦纳树问题和TSP问题：
- 斯坦纳树问题 ：给定一个包含n个顶点的度量空间$(V, c)$和指定的根顶点$r \in V$，对于任意终端子集$X \subseteq V$，用$opt_{ST}(X)$表示连接$X \cup r$的最优斯坦纳树的成本。
- 旅行商问题（TSP） ：同样在该度量空间中，用$opt_{TSP}(X)$表示连接$X \cup r$的最优旅行的成本。如果$X$已知，那么$opt_{ST}(X)$和$opt_{TSP}(X)$都可以在常数