11、石子移动问题的近似算法研究

石子移动问题的近似算法研究

1. s - t 路径移动问题

在 s - t 路径移动问题中，我们的目标是使用一些石子构建一条从 s 到 t 的路径，且路径的每个顶点上至少有一个石子，同时要最小化最大移动距离。

定理 1 表明存在一个多项式时间算法，能找到 s - t 路径移动问题的解。若存在一个解形成长度为 ℓ 的路径，且每个石子最多沿 M 条边移动，那么该算法能找到长度至多为 ℓ 的路径，且每个石子最多沿 7M - 4 条边移动。

该算法可视为双准则近似算法，在路径使用的石子数量上是最优的，在最大移动距离上是常数因子近似。这一特性有助于后续找到斯坦纳连通性移动问题的近似算法。

算法主要分为两个部分：
1. 寻找最小长度的局部一致路径 P ：一个石子最多可沿 3M - 2 条边移动到 P 的一个节点，但允许将一个石子移动到 P 上足够远（约 14M 条边）的多个节点。
2. 将 P 转换为一致路径 Q ：对于移动到 P 的多个节点的每个石子，选择其中一个节点，这会在路径中产生间隙；然后通过将一些石子沿额外的 (7M - 4) - (3M - 2) = 4M - 2 条边移动来填充这些间隙，路径长度不会增加。

以下是该算法的 mermaid 流程图：

graph LR
    A[开始] --> B[寻找最小长度局部一致路径 P]
    B --> C[将 P 转换为一致路径 Q]
    C --> D[结束]

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