8、冲突条件下运动控制的时间拉伸原理

冲突条件下运动控制的时间拉伸原理

1. 时间拉伸原理基础

在冲突控制的场景中，时间拉伸原理对于运动控制有着重要的应用。例如在追击与逃避的游戏中，涉及追击者和逃避者的运动控制。

1.1 积分 - 微分游戏示例

考虑一个游戏，其中追击者和逃避者的运动分别由以下积分 - 微分方程描述：
- 追击者：(\dot{x}(t) = \lambda \int_{0}^{t} x(s) ds + u)，(u \in U)，(x(0) = x_0)，(|u| \leq \rho)
- 逃避者：(\dot{y}(t) = \mu \int_{0}^{t} y(s) ds + v)，(v \in V)，(y(0) = y_0)，(|v| \leq \sigma)

这里，(K_1(t, s))和(K_2(t, s))为单位矩阵，(A_1)和(A_2)为零矩阵。通过迭代核公式可计算：
(\hat{K}_1(t, s) = (t - s) E)，(\hat{L}_1(t, s) = (t - s) E)

设(\omega_1 = \sqrt{-\lambda})，(\omega_2 = \sqrt{-\mu})，则方程的预解式如下：
|条件|追击者预解式(\hat{R}_1(t, s))|逃避者预解式(\hat{R}_2(t, s))|
| ---- | ---- | ---- |
|(\lambda < 0)，(\mu < 0)|(\frac{1}{\omega_1} \sin \omega_1 (t - s))|(\frac{1}{\omega_2} \sin \omega_2 (t -