7、状态验证与UIO序列搜索算法解析

状态验证与UIO序列搜索算法解析

1. 引言

在自动机理论和系统测试领域，确定Mealy机的某个状态是否存在唯一输入输出（UIO）序列是一个重要问题。该问题通常是PSPACE完全的，意味着在一般情况下难以高效解决。不过，在实际应用中，针对许多机器，这个问题是可解的，并且UIO序列在许多一致性测试算法中发挥着关键作用。本文将深入探讨相关概念和算法，包括确定性有限自动机、收敛和推理图，以及几种寻找UIO序列的算法。

2. 确定性有限自动机与最短接受字符串

考虑n个基于字母表{0}的确定性有限自动机A1, …, An，其中Ai的转移形成长度为pi的循环，pi是第i个质数。Ai的唯一接受状态是初始状态的前一个状态。因此，Ai接受0k当且仅当pi | (k + 1)。这意味着所有自动机都接受的最短字符串长度为m = ∏i=1n pi - 1。

假设存在长度m′ < m的字符串被所有自动机接受，那么对于所有i ∈ {1, …, n}，都有pi | (m′ + 1)。根据唯一质因数分解定理，m′ + 1 = ∏i=1n pi，这产生了矛盾。

需要注意的是，∏i=1n pi - 1 ≥ 2n在自动机的总表示大小上是指数级的，而自动机的总表示大小根据高斯质数定理在n上是多项式级的。

3. 收敛和推理图

3.1 收敛的定义

设Mealy机M有状态t1, t2, …, tk，它们都有标记为a/b的边指向状态s。则：
- 状态t1, …, tk是收敛状态。
- 状态s是收敛状态。
- 标记为a/b的边(t1, s), …, (tk, s)是收敛边。