2019.4. 13训练情况总结_训练情况报告-优快云博客

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本文总结了个人算法竞赛训练的情况，包括解决的题目数量和遇到的问题及解决方法。详细介绍了矩阵快速幂、二进制状态压缩DP等算法在具体题目中的应用。

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个人训练情况

	Stat	#	Title
Solved	18 / 18	A	Tr A
Solved	15 / 20	B	Fibonacci
Solved	11 / 24	C	Matrix Power Series
Solved	7 / 13	D	Corn Fields
Solved	3 / 3	E	Hie with the Pie
Solved	2 / 11	F	Mega Man's Mission

遇到的问题&解决方法

矩阵快速幂类似快速幂，通过指数二进制分解加速幂运算

第三题“Matrix Power Series”求矩阵A前k项幂之和，须构造矩阵

由： $S^{k}=S^{k-1}+A^{k}$

$a*A^{k}+b*x=A^{k+1}$

$c*S^{k-1}+d*y=S^{k}$

解得 a=A,b=0,c=E,d=E,y= $A^{k}$ ;

其中E为单位矩阵，0为零矩阵。

重排后可得到：

$\begin{bmatrix} A&0 \\ E&E \\ \end{bmatrix} *\begin{bmatrix} A^{k}\\S^{k-1} \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} A^{k+1} \\ S^{k} \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} A^{k+1}\\ S^{k} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} A&0 \\ E&E \\ \end{bmatrix}^{k-1}*\begin{bmatrix} A^{2}\\S^{1} \end{bmatrix}$

再利用快速幂得到答案。

第四题“Corn Fields”利用二进制数存储每行状态，从左到右从上到下递推，最后一层所有状态之和即为答案。

第五题“Hie with the Pie”先利用floyd算法求每两点直接最短路，再用二进制数表示状态，每位上的0|1表示每个状态是否到过某个点，遍历所有状态：每个状态分别与每个点先做“与”运算判断是否有先后关系，再做“异或”运算(相当于减法)得到上一个状态，若为上一个状态为第一个状态则直接赋值，若不为第一个状态则需判断是否可行(dp[S^(1<<(i-1))][j]>0),若可行则进行状态转移。

dp[S][i] = min(dp[S^(1<<(i-1))][j] + dis[j][i],dp[S][i])

答案取(最后一个状态的值+回到出发点的时间)的最小值

ans=min(dp[最后一个S][i]+dis[i][0]); i从1到n(0表示出发点)

第六题“Mega Man's Mission”，用二进制数表示每个状态，每位的0/1表示该机器人是否被击杀，最低位为一号机器人。

用二进制数表示武器状态(每击杀一个机器人就更新一次武器)，每位的0/1表示此时的武器能否击杀该位代表的机器人，最低位代表一号机器人。

状态s从1递推到 $2^{n}$ -1，其中n为机器人数，每个状态分别与二进制表示的机器人(从1到n，计为ct)做“与”运算，若结果不为零，则可得到上一个状态dp[s-ct],若上个状态的武器能击杀该机器人，则可进行一次状态转移。dp[s]+=dp[s-ct].