组合数计算方法-优快云博客

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/sedcftyv/article/details/102479483

本文介绍了几种计算组合数的方法，包括递推法、直接求法（当mod为质数时）、利用Lucas定理和高精度计算。递推法通过双重循环更新组合数矩阵；直接求法使用阶乘和逆元；Lucas定理适用于较大数值；高精度计算则通过质因子分解和高精度乘法实现。

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递推求组合数

$C^{m}_{n}=C^{m-1}_{n-1}+C^{m}_{n-1}$

    c[1][1]=c[0][1]=1;
    for(int i=2;i<=k;++i)
        for(int j=0;j<=min(i,n);++j)
    {
        if(!j)
        c[j][i]=1;
        else
        c[j][i]=c[j-1][i-1]+c[j][i-1];
    }

直接求组合数

$C^{m}_{n}$ mod为质数

ll cmb(ll m,ll n)
{
    if(m>n) return 0;
    return fac[n]*inv[m]%mod*inv[n-m]%mod;
}    
    fac[0]=1;
    for(ll i=1;i<mod;++i)
        fac[i]=fac[i-1]*i%mod;
    inv[mod-1]=Pow(fac[mod-1],mod-2);
    for(ll i=mod-2;i>=0;--i)
        inv[i]=inv[i+1]*(i+1)%mod;

Lucas定理求组合数

$C^{m}_{n}\equiv C^{m\; mod\; p}_{n\;mod\;p}\times C^{m\div p}_{n\div p}(mod\;p)$ ,其中p为素数

ll cmb(ll m,ll n)
{
    if(m>n) return 0;
    return fac[n]*inv[m]%mod*inv[n-m]%mod;
}
ll lucas(ll m,ll n)
{
    if(m==0)
        return 1;
    return lucas(m/mod,n/mod)*cmb(m%mod,n%mod)%mod;
}

高精度

先分解质因子,再求直接法分子分母阶乘质因子指数之差,高精度乘法求结果.

void mul(Data &a,int b)
{
    int t=0;
    for(int i=0;i<a.l;++i)
    {
        a.x[i]=a.x[i]*b+t;
        t=a.x[i]/10;
        a.x[i]%=10;
    }
    while(t)
    {
        a.x[a.l]=t%10;
        a.l++;
        t/=10;
    }
}
int exp(int x,int y)
{
    int res=0;
    while(x)
    {
        x/=y;
        res+=x;
    }
    return res;
}
    for(int i=0;i<id;++i)
    {
        t[i]=exp(a,p[i])-exp(b,p[i])-exp(a-b,p[i]);
        while(t[i]--)
            mul(ans,p[i]);
    }