最近公共祖先(LCA)

倍增法求LCA

1.前向星建图

2.预处理 i从1到n，lg[1]=0,如果i是2的幂，lg[i]=lg[i-1]+1,否则 lg[i]=lg[i-1].

3.一次dfs求各节点深度和倍增数组

4.lca查询 先跳到同一深度，若重合直接返回结果，否则同时往上跳，跳到lca下面一个位置，最后返回其父节点。

预处理O(nlog(n)),查询(log(n))

 

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
using namespace std;
int to[1000010],nex[1000010],head[500010],par[500010][20],d[500010];
int lg[500010],lg1[500010];
void dfs(int now,int deep)
{
    for(int i=1;i<=lg[deep];++i)
        par[now][i]=par[par[now][i-1]][i-1];
    d[now]=deep;
    for(int i=head[now];i>0;i=nex[i])
    {
        if(to[i]==par[now][0])
            continue;
        par[to[i]][0]=now;
        dfs(to[i],deep+1);
    }
}
int lca(int x,int y)
{
    if(d[x]<d[y])swap(x,y);
    while(d[x]>d[y])
    x=par[x][lg[d[x]-d[y]]];
    if(x==y)
    return x;
    for(int i=lg[d[x]];i>=0;--i)
    {
        if(par[x][i]!=par[y][i])
        {
            x=par[x][i];
            y=par[y][i];
        }
    }
    return par[x][0];
}
int main()
{
    int n,m,s,con=1;
    scanf("%d%d%d",&n,&m,&s);
    for(int i=1;i<n;++i)
    {
        int a,b;
        scanf("%d%d",&a,&b);
        to[con]=b;
        nex[con]=head[a];
        head[a]=con++;
        to[con]=a;
        nex[con]=head[b];
        head[b]=con++;
    }
        lg[1]=0;
        for(int i=2;i<=n;++i)
        {
            if((i&(i-1))==0)
            lg[i]=lg[i-1]+1;
            else
            lg[i]=lg[i-1];
        }
    dfs(s,0);
    while(m--)
    {
        int a,b;
        scanf("%d%d",&a,&b);
        printf("%d\n",lca(a,b));
    }
    return 0;
}

Tarjan离线求LCA

1.将待查询的两点和查询标号存入vector中

2.运行Tarjan算法,在dfs的过程中未遍历的点st值为0,遍历未结束的点st为1,遍历结束的点st为2

3.先将点x的st值赋1,遍历x下的所有点,每个点遍历结束后要修改并查集祖先,然后在vector中查询与x有关的询问lca(x,y),如果st[y]==2,并查集中y的祖先就是lca(x,y).

4.将x的st值赋2.

时间复杂度O(n+m)

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<vector>
using namespace std;
typedef pair<int,int>pii;
const int N=1e4+10;
int h[N],nex[N*2],to[N*2],w[N*2],con=1,ans[2*N],st[N],p[N];
vector<pii>que[N];
int find(int x)
{return p[x]=p[x]==x?x:find(p[x]);}
void add(int a,int b,int k)
{
    nex[con]=h[a];
    h[a]=con;
    to[con]=b;
    w[con++]=k;
}
void tarjan(int x,int f)
{
    st[x]=1;
    for(int i=h[x];i;i=nex[i])
    {
        if(!st[to[i]])
        {
            tarjan(to[i],x);
            p[to[i]]=x;
        }
    }
    for(int i=0;i<que[x].size();++i)
    {
        int y=que[x][i].first;
        if(st[y]==2)
        {
            int lca=find(y);
            ans[que[x][i].second]=lca;
        }
    }
    st[x]=2;
}
int main()
{
    int n,m;cin>>n>>m;
    for(int i=1;i<n;++i)
    {
        int x,y,k;scanf("%d%d%d",&x,&y,&k);
        add(x,y,k),add(y,x,k);
    }
    for(int i=0;i<m;++i)
    {
        int x,y;scanf("%d%d",&x,&y);
        if(x!=y)
        {
        que[x].push_back(pii(y,i));
        que[y].push_back(pii(x,i));
        }
    }
    for(int i=1;i<=n;++i)
    p[i]=i;
    tarjan(1,0);
    for(int i=0;i<m;++i)
    printf("%d\n",ans[i]);
    return 0;
}