优化问题的数学基础

最新推荐文章于 2025-10-11 12:54:31 发布

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#优化 #向量和范式 #集合论 #局部最优解 #python

本文介绍了优化问题的基础概念，包括向量的定义，如欧几里得内积和范式，特别是欧几里得范式、一阶范式、p阶范式和无穷阶范式。接着探讨了集合论中的上确界、下确界、开集、闭集、紧集等概念，并讲解了局部最小点和全局最小点的定义，以及线性与仿线性函数在优化问题中的角色。线性优化问题的标准形式也被提及。

基础术语与定义

1、向量和范式（vectors and norms）

1.1 向量定义

一个点或者向量 $x \epsilon R^{n}$ , 通常用小写字母表示，若不加说明，默认为列向量，即

$x=\begin{bmatrix}x1 \\ x2 \\ ... \\ xn \end{bmatrix} \, \, \, \, x_{i}\epsilon R\, \, \, \, \, \, \, \forall i$

1.2 欧几里得内积（Euclidean inner product）

性质

非负性（Positivity） $\left \langle x,x\right \rangle \geq 0\, \, and\, \left \langle x,x\right \rangle=0\,\: if\,\: and\,\: only\, \, if\, \, x=0$
对称性（Symmetry） $\left \langle x,y\right \rangle =\left \langle y,x\right \rangle$
线性（Linearity） $\left \langle \alpha x+\beta y,z\right \rangle =\alpha \left \langle x,z\right \rangle+\beta \left \langle y,z\right \rangle\, \, \, \: \: \forall \alpha ,\beta \epsilon R\, \, \, \, and\, x,y,z\epsilon R^{n}$

内积往往用来表示角度：

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