距离与相似度计算-优快云博客

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假设两个向量 $\vec{x} = \left \{ x_{1}, x_{2}, .....,x_{n} \right \}, \vec{y} = \left \{ y_{1}, y_{2}, .....,y_{n} \right \}$

欧式距离：

$\sqrt{(x_{1} - y_{1})^2 + (x_{2} - y_{2})^2 + ....+(x_{n} - y_{n})^2}$

P范式：

p = 1, 1范式：

$\left | x_{1} - y_{1} \right | + \left | x_{2} - y_{2} \right | + ....+ \left | x_{n} - y_{n} \right |$

p = 2, 2范式（等于欧氏距离）：

$\sqrt{(x_{1} - y_{1})^2 + (x_{2} - y_{2})^2 + ....+(x_{n} - y_{n})^2}$

p = $+\infty$ :

$\left [ |x_{1} - y_{1}|^{p} + |x_{2} - y_{2}|^{p} +.....+ |x_{n} - y_{n}|^{p} \right ]^{\frac{1}{p}}$ = $|x_{k} - y_{k}|$ （前面里面最大的一项）

上面总称闵可夫斯基距离 $dist(\vec{x}, \vec{y}) = (\sum_{1}^{n}|x_{i} - y_{i}|^p)^\frac{1}{p}$

杰卡德相似系数：

$J(A, B) = \frac{|A\cap B|}{|A\cup B|}$

余弦相似度：

$\cos \theta = \frac{\vec{x}\cdot \vec{y}}{|\vec{x}| \cdot |\vec{y}| }$

等于1时，方向相同，最相似，等于0时，方向垂直，-1时，方向相反，最不相似。

皮尔逊相关系数：

不认为x, y是两个n维的向量，而是两个随机变量，分别采样出n个值 $\left \{ x_{1}, x_{2}, .....,x_{n} \right \}, \left \{ y_{1}, y_{2}, .....,y_{n} \right \}$ ，则可以计算出x的均值 $\mu _{x}$ , 标准差 $\sigma _{x}$ , y的均值 $\mu _{y}$ , 标准差 $\sigma _{y}$ . x, y 的协方差记作 $cov(x, y)$ , 则皮尔逊系数计算如下：

$\rho_{x,y} = \frac{cov(x,y)}{\sigma_{x} \cdot \sigma_{y} }=\frac{ \frac{1}{n-1} \sum_{1}^{n} (x_{i} - \mu _{x}) \cdot (y_{i} - \mu _{y}) }{ \sqrt{ \frac{1}{n-1} \sum_{1}^{n} (x_{i} - \mu _{x})^2 } \cdot \sqrt{ \frac{1}{n-1} \sum_{1}^{n} (y_{i} - \mu _{y})^2 } }$

= $\frac{ \sum_{1}^{n} (x_{i} - \mu _{x}) \cdot (y_{i} - \mu _{y}) }{ \sqrt{\sum_{1}^{n} (x_{i} - \mu _{x})^2 } \cdot \sqrt{ \sum_{1}^{n} (y_{i} - \mu _{y})^2 } }$