连续子数组的最大和

最新推荐文章于 2022-04-18 20:15:35 发布

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这篇博客讨论了如何使用动态规划解决寻找一个数组中，下标从0到n的连续子数组的最大和问题。当最大和小于等于0时，只需找最大的非正数；若最大和大于0，则从非负数开始到非负数结束的区间是最大和。通过遍历数组并维护当前和，可以找到最大子数组和，避免了无效的区间扩展。代码实现简洁高效。

问题描述:求下标 0-n 的连续子数组的最大和

假设数组下标: $0 . . . i . . . j . . . n$
区间 $[i, j]$ 是最大和 maxsum

maxsum有2种情况

1.假设 maxsum<= 0; 只有一种情况，所有数都为非正数. 如果 $a [x] > 0$ ,那么假设不成立。

maxsum = max(maxsum,a[x]);(即找最大的非正数)

2.假设 maxsum>0;那么

a[x] <= maxsum; 并且 a[i] >= 0, a[j] >= 0;(如果a[i]<0,那么不选i,能让maxsum变大,与假设矛盾)

最大和为从非负数开始到非负数结束

阻止区间向两边扩展的条件。
1.到头了。(即到达左右边界,没有元素了)
2.左边。从 $\leq k \leq i-1)$ .(从i-1开始，向左累加，找不到非负数和了).
右边。从 $j + 1 + j + 2 + . . . + n < 0,$ .(从j+1开始，向右累加，找不到非负数和了).

我们从左到右遍历，那么左边利用无法扩展(第2条)，右边利用到头了。

如何确定区间 [i,j]

假设我们找到一个正数, 下标 m，设 T = $n - 1 + n - 2 + . . . + m$
1.右边是正数，那么累加。 (T > 0)
2.右边是非负数, 假设下标 n

1.如果 T < 0,这一块已经无法扩展了，必须重新寻找下一个区间。
2.T == 0, 加和没加一样了
3.如果 T > 0, 是否存在 m<s<n, 使得 $a_s+...+a_n > a_m + ...+a_s + ...+ a_n$
假设条件成立,那么
$a_m + ... + a_{s-1} < 0$ ,这是不存在的, 处理第一条时，已经处理完毕。

也就是说从一个正数开始 , 当和大于0 时,最大和在当前区间内(正数下标开头)或者不在当前区间，
不会出现最大和的开始下标, 出现在当前区间中间的部分。

代码：

int maxSubArray(vector<int>& nums) {
        static auto speedup = [](){ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(nullptr);return nullptr;}();
        if(nums.size() == 0) return 0;
        int sum = 0,res = INT_MIN;
        for(int i = 0;i<nums.size();++i){
            sum+= nums[i];
            res = max(sum,res);
            //sum 就是 T,利用sum = 0,代替 重新寻找区间
            if(sum<0){
                sum = 0;
            }
        }
        return res;
    }