线性代数

n阶行列式

第一种定义(按行展开) : 行标 取自然排列,  列标取所有可能,不同行不同列取n个元素相乘。符号由
列标排列的 逆序数的奇偶性决定。
第二种定义(按列展开):类似第一种。
第三种定义(既不按行也不按列):符号由 行标排列和列标排列的 逆序数的奇偶性决定。

行列式性质

转置 原来的行变成列 列变成行

DTD^TDT
(对行成立的性质,对列也成立)
性质1.
DT=DD^T = DDT=D
性质2.
两行互换,值变号。(两行或者两列对应相等 行列式的值为0)
性质4.
某一行都乘以k。等于用k乘以D.(推论:某一行都有公因子,k可以提到外面)
∣1234k5k6k789∣=k∣123456789∣\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3\\ 4k & 5k & 6k \\ 7 & 8 & 9 \end{vmatrix} = k\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6\\ 7 & 8 & 9\end{vmatrix}14k725k836k9=k147258369

行列式的所有元素,均有公因子k,k外提n次。

性质5. 两行对应成比例 D = 0(推论:某一行全为0,D = 0)
性质6. 是和的那一行分开,其余行不变

∣1232+78+59+10456∣=∣123289456∣+∣1237510456∣\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3\\ 2+7 & 8+5 & 9+10 \\ 4 & 5 & 6 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 8 & 9\\ 4 & 5 & 6\end{vmatrix} + \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 7 & 5 & 10\\ 4 & 5 & 6\end{vmatrix}12+7428+5539+106=124285396+1742553106

性质7.某一行乘以一个数,加到另一行上去,D不变
1.先处理第一列,再第二列,...
2.第一列处理完后,不再参与运算
3.某一行乘以x,加到第几行去

余子式
指定某个元素,去掉所在行 和 列,剩余元素 按原来排列好。
M32M_{32}M32

代数余子式(多了个符号)
A32=(−1)(3+2)∣...∣A_{32} = (-1)^{(3+2)}|...|A32=(1)(3+2)...

定理(按某行展开)
D=ai1Ai1+ai2Ai2+...+ainAinD = a_{i1}A_{i1} + a_{i2}A_{i2} + ...+a_{in}A_{in}D=ai1Ai1+ai2Ai2+...+ainAin

定理(异乘变零定理)
某一行元素与另一行元素的代数余子式之和 = 0

拉普拉斯定理
k阶子式(取m行,取m列,相交的部分)
k阶余子式(剩下的部分)
k阶代数余子式(加符号 第几行第几列 相加)

取定k行,由k行元素组成的所有k阶子式与代数余子式乘积之和=D

说明
∣12345678910111213141516∣4\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 5 & 6 & 7 & 8 \\ 9 & 10 & 11 & 12 \\ 13 & 14 & 15 & 16 \\ \end{vmatrix}_4159132610143711154812164

假设取 第1,2行 1,2列
那么
∣1256∣2就是子式\begin{vmatrix} 1 & 2\\ 5 & 6 \end{vmatrix}_2就是子式15262

∣11121516∣2就是余子式\begin{vmatrix} 11 & 12\\ 15 & 16 \end{vmatrix}_2就是余子式111512162
(−1)1+2+1+2∣11121516∣2就是代数余子式(-1)^{1+2+1+2}\begin{vmatrix} 11 & 12\\ 15 & 16 \end{vmatrix}_2就是代数余子式(1)1+2+1+2111512162
行列式计算
加边法
1.加一行,加一列

范德蒙德行列式
∣111⋯1x1x2x3⋯xn⋮⋮⋮⋮⋮x1n−1x2n−1x3n−1⋯xnn−1∣n=∏1≤j<i≤n(xi−xj)\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & \cdots & 1 \\ x_1 & x_2 & x_3 & \cdots & x_n \\ \vdots & \vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\\ x_1^{n-1} & x_2^{n-1} & x_3^{n-1} & \cdots & x_n^{n-1} \end{vmatrix}_n = \prod \limits_{1\leq j <i \leq n}(x_i-xj)1x1x1n11x2x2n11x3x3n11xnxnn1n=1j<in(xixj)

反对称行列式
aij=−ajia_{ij} = -a_{ji}aij=aji
1.主对角线为0
2.上下位置成相反数

∣0123−10−56−250−8−3−680∣4\begin{vmatrix} 0 & 1 & 2 & 3 \\ -1 &0 &-5 &6 \\ -2 &5 &0 &-8\\ -3 &-6& 8& 0 \end{vmatrix}_401231056250836804
奇数阶 D = 0

对称行列式
aij=ajia_{ij} = a_{ji}aij=aji

 1.主对角线没有要求
 2.上下位置相等

克莱姆法则
x1+x2+x3=1x1−x2+5x3=6−x1+x2+6x3=9x_1 + x_2 + x_3 = 1\\ x_1 - x_2 + 5x_3 = 6\\ -x_1 + x_2 + 6x_3 = 9x1+x2+x3=1x1x2+5x3=6x1+x2+6x3=9

D=∣1111−15−116∣D1=∣1116−15916∣D2=∣111165−196∣D3=∣1111−16−119∣D= \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 5 \\ -1 & 1 & 6 \end{vmatrix} D_1= \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 6 & -1 & 5 \\ 9 & 1 & 6 \end{vmatrix} D_2= \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 6 & 5 \\ -1 & 9 & 6 \end{vmatrix} D_3= \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 6 \\ -1 & 1 & 9 \end{vmatrix} D=111111156D1=169111156D2=111169156D3=111111169

1.n个方程,n个未知量,D≠0,xj=DjD1.n个方程, n个未知量, D \neq 0, x_j = \frac{D_j}{D}1.n,n,D=0,xj=DDj
齐次方程组 ,右边都等于0,至少有零解

矩阵
单位阵(主对角线全为1,其他为0,且为方阵)。
零矩阵(全都是零)

加法,减法(同型),对应元素相加减
(123456)+(456789)=(579111315)\left( \begin{array}{lcr} 1 & 2 & 3\\ 4 & 5 & 6 \end{array}\right)+\left( \begin{array}{lcr} 4&5&6\\ 7&8&9 \end{array}\right)=\left( \begin{array}{lcr} 5&7&9\\ 11&13&15 \end{array}\right) (142536)+(475869)=(511713915)
数乘
k(123456789)=(k2k3k4k5k6k7k8k9k)k\left(\begin{array}{lcr} 1 &2&3\\ 4&5&6\\ 7&8&9 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{lcr} k &2k&3k\\ 4k&5k&6k\\ 7k&8k&9k \end{array}\right)k147258369=k4k7k2k5k8k3k6k9k
行列式是只提取一行,而矩阵提取所有。

乘法
一行和列对应相乘再相加,得到aij的值

条件:第一个矩阵的列 = 第二个矩阵的行数
结果行数= 第一个矩阵的列数
结果列数=第二个的列数

七字诀

中间相等取两头

(210101)(101011011)=(213112)\left(\begin{array}{lcr} 2 &1&0\\ 1&0&1 \end{array}\right)\left(\begin{array}{lcr} 1 &0&1\\ 0&1&1\\ 0&1&1 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{lcr} 2 &1&3\\ 1&1&2 \end{array}\right)(211001)100011111=(211132)

1.结合性:(AB)C = A(BC).
2.分配:(A+B)C=AC + BC.
3.k(AB) = (kA)B = A(kB).

AB = BA
A B 可交换(必须是方阵)
Ak1Ak2=Ak1+k2A^{k_1}A^{k_2}=A^{k_1+k_2}Ak1Ak2=Ak1+k2
(Ak1)k2=Ak1k2{(A^{k_1})}^{k2}=A^{k_1k_2}(Ak1)k2=Ak1k2

矩阵的转置
ATA^TAT
转置的性质
(AT)T=A(A^T)^T=A(AT)T=A
(A+B)T=AT+BT(A+B)^T=A^T+B^T(A+B)T=AT+BT
(kA)T=kAT(kA)^T=kA^T(kA)T=kAT
(AB)T=BTAT(AB)^T=B^TA^T(AB)T=BTAT

特殊矩阵(方阵)
1.数量矩阵
(aa⋱a)=aE\left(\begin{array}{lcr} a\\ &a\\ &&\ddots\\ &&&a \end{array}\right)=aE aaa=aE

2.对角形
(a1a2⋱an)=diag(a1,a2,…,an)\left(\begin{array}{lcr} a_1\\ &a_2\\ &&\ddots\\ &&&a_n \end{array}\right)=diag(a_1,a_2,\dots,a_n) a1a2an=diag(a1,a2,,an)

3.上,下三角形,主对角线下面(上面)全是零.

4.对称
aij=ajia_{ij} = a_{ji}aij=aji
AT=AA^T = AAT=A
定理:A.B对称,AB对称 ⇔ A,B可交换

5.反对称(主对角线全为零)
aij=−ajia_{ij}=-a{ji}aij=aji

逆矩阵
不要把矩阵放在分母上
A∗B=B∗A=EA * B = B * A = EAB=BA=E

方阵的行列式
A=(222333111)A = \left( \begin{array}{lcr} 2&2&2\\ 3&3&3\\ 1&1&1 \end{array} \right) A=231231231
∣A∣=∣222333111∣|A| = \begin{vmatrix} 2&2&2\\ 3&3&3\\ 1&1&1 \end{vmatrix} A=231231231
性质
1.∣AT∣=∣A∣|A^T|=|A|AT=A
2.∣kA∣=kn∣A∣|kA|=k^n|A|kA=knA
3.∣AB∣=∣A∣∗∣B∣|AB|=|A|*|B|AB=AB

伴随矩阵(只有方阵有)
按行求按列放
1.求所有元素的代数余子式
2.按行求的代数余子式按列放构成伴随矩阵
A∗A^*A

定理
AA∗=A∗A=∣A∣EAA^*=A*A=|A|EAA=AA=AE
∣A∗∣=∣A∣n−1|A^*| = |A|^{n-1}A=An1

逆矩阵:A n阶方阵,存在同阶方阵B,使得 AB = BA = E
A−1=BA^{-1} = BA1=B
1.不是所有方阵均可逆。0 0B=B0=0
2.若可逆,逆矩阵唯一。

1.如何判断可逆
2.A−1=?A^{-1} = ?A1=?
∣A∣≠0.非奇异,非退化,满秩,可逆|A| \neq 0.非奇异,非退化,满秩,可逆A=0.退

定理: A 可逆的充要条件 ∣A∣≠0.A−1=1∣A∣A∗|A| \neq 0. A^{-1} = \frac{1}{|A|}A^*A=0.A1=A1A

推论: A 是n阶方阵 ,B 是n阶方阵 . AB = E(BA = E) A可逆。A−1=BA^{-1} = BA1=B

A−1A_{-1}A1
1.伴随矩阵法
2.初等变换法

矩阵方程
A=(423110−123)A=\left(\begin{array}{lcr} 4&2&3\\ 1&1&0\\ -1&2&3 \end{array}\right) A=411212303

Ax=A+2xAx = A + 2xAx=A+2x
注意顺序,AB 和 BA 不一定相等
1.(A−2E)x=A(A-2E)x=A(A2E)x=A
∣A−2E∣≠0|A-2E|\neq 0A2E=0 可逆
2.(A−2E)−1(A−2E)x=(A−2E)−1A(A-2E)^{-1}(A-2E)x=(A-2E)^{-1}A(A2E)1(A2E)x=(A2E)1A

性质:
1.A可逆 ,A−1A^{-1}A1可逆.(A−1)−1=A{(A^{-1})}^{-1} = A(A1)1=A

2.AB均可逆, (AB)−1=B−1A−1{(AB)^{-1}}=B^{-1}A^{-1}(AB)1=B1A1

3.A可逆 ,ATA^TAT可逆,(AT)−1=(A−1)T{(A^{T})}^{-1}={(A^{-1})}^T(AT)1=(A1)T,k≠0(kA)−1=1kA−1k \neq 0 {(kA)^{-1}}=\frac{1}{k}A^{-1}k=0(kA)1=k1A1

4.A可逆. ∣A−1∣=∣A∣−1|A^{-1}|=|A|^{-1}A1=A1

5.A可逆. A∗可逆.(A∗)−1=1∣A∣AA^*可逆. (A^*)^{-1} = \frac{1}{|A|} AA.(A)1=A1A

A∗A^*A
1.按行求,按列放。

2.AA∗=A∗A=∣A∣EAA^*=A^*A=|A|EAA=AA=AE

3.∣A∗∣=∣A∣n−1|A^*|=|A|^{n-1}A=An1

4.A−1=1∣A∣A∗A^{-1} = \frac{1}{|A|}A^*A1=A1A,A∗=∣A∣A−1A^*=|A|A^{-1}A=AA1

5.(A∗)∗=∣A∣n−2A(A^*)^*=|A|^{n-2}A(A)=An2A

分块矩阵
要求:横线、竖线 到头
按行分,按列分

标准形
从左上角开始的一串1(不断)
(1⋱10⋱0)m∗n=(Er0r∗(n−r)0(m−r)∗r0(m−r)∗(n−r))\left(\begin{array}{lcr} 1&\\ &\ddots\\ &&1\\ &&&0 \\ &&&&\ddots\\ &&&&&0 \end{array}\right)_{m*n} = \left(\begin{array}{lcr} E_r &0_{r*(n-r)}\\ 0_{(m-r)*r} & 0_{(m-r) * (n-r)} \end{array}\right) 1100mn=(Er0(mr)r0r(nr)0(mr)(nr))

1.分块加法 (同型)
(A1A2A3A4)+(B1B2B3B4)=(A1+B1A2+B2A3+B3A4+B4)\left(\begin{array}{lcr} A_1 & A_2\\ A_3&A_4 \end{array}\right) + \left(\begin{array}{lcr} B_1&B_2\\ B_3 & B_4 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{lcr} A_1 + B_1 & A_2 + B_2\\ A_3 + B_3 & A_4 + B_4 \end{array}\right) (A1A3A2A4)+(B1B3B2B4)=(A1+B1A3+B3A2+B2A4+B4)

2.数乘
k(A1A2A3A4)=(kA1kA2kA3kA4)k\left(\begin{array}{lcr} A_1 & A_2\\ A_3 & A_4 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{lcr} kA_1 & kA_2\\ kA_3 & kA_4 \end{array}\right) k(A1A3A2A4)=(kA1kA3kA2kA4)

3.乘法
(A1A2A3A4)(B1B2B3B4)=(A1B1+A2B3A1B2+A2B4A3B1+A4B3A3B2+A4B4)\left(\begin{array}{lcr} A_1 & A_2\\ A_3&A_4 \end{array}\right) \left(\begin{array}{lcr} B_1&B_2\\ B_3 & B_4 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{lcr} A_1B_1 + A_2B_3 & A_1B_2 + A_2B_4\\ A_3 B_1 + A_4B_3 & A_3B_2 + A_4B_4 \end{array}\right) (A1A3A2A4)(B1B3B2B4)=(A1B1+A2B3A3B1+A4B3A1B2+A2B4A3B2+A4B4)

对角形分块矩阵
(A1A2⋱An)\left(\begin{array}{lcr} A_1\\ &A_2\\ &&\ddots\\ &&&A_n \end{array}\right) A1A2An

分块转置矩阵
A=(A1A2A3A4A5A6)A = \left(\begin{array}{lcr} A_1 & A_2 &A_3\\ A_4 & A_5 & A_6 \end{array}\right) A=(A1A4A2A5A3A6)
AT=(A1TA4TA2TA5TA3TA6T)A^T = \left(\begin{array}{lcr} A_1^T & A_4^T \\ A_2^T & A_5^T \\ A_3^T & A_6^T \end{array}\right) AT=A1TA2TA3TA4TA5TA6T
1.把子块当做元素,求转置
2.对每个子块求转置

H=(AC0B)H = \left(\begin{array}{lcr} A & C\\ 0 & B \end{array}\right) H=(A0CB)
A,B m阶 n阶 可逆

H−1=(A−1−A−1CB−10B−1)H^{-1} = \left(\begin{array}{lcr} A^{-1} & -A^{-1}CB^{-1}\\ 0 & B^{-1} \end{array}\right) H1=(A10A1CB1B1)

(A1A2⋱An)−1=(A1−1A2−1⋱An−1)\left(\begin{array}{lcr} A_1 \\ & A_2\\ &&\ddots\\ &&&A_n \end{array}\right) ^{-1} = \left(\begin{array}{lcr} A_1^{-1} \\ & A_2^{-1}\\ &&\ddots\\ &&&A_n^{-1} \end{array}\right) A1A2An1=A11A21An1

初等变换
和行列式区别开

初等行变换{交换两行用k(k≠0)乘某一行某一行的t倍加到另一行上去初等行变换\left \{ \begin{array}{c} 交换两行\\ 用k(k \neq 0) 乘某一行\\ 某一行的t倍加到另一行上去 \end{array}\right. k(k=0)t

定理1:任给一个矩阵 都可通过初等变换化为标准形

等价: A 经过初等变换得到B,
1.反射性: A ⟺\Longleftrightarrow A
2.对称性 : A ⟺\Longleftrightarrow B ->B ⟺\LongleftrightarrowA
3.传递性:A ⟺\Longleftrightarrow B ,B ⟺\Longleftrightarrow C ->A ⟺\Longleftrightarrow C
任意矩阵都 等价于 标准形

初等方阵
对E做一次初等变换得到的矩阵

1.交换两行. E(i,j)E(i,j)E(i,j)
2.用K(k != 0) 乘某行. E(i(k))E(i(k))E(i(k))
3.某行l被加到另一行. E(i,j(k))E(i,j(k))E(i,j(k))

行列式的值不等0 矩阵可逆
初等方阵均可逆

初等左(右)乘想当于对A 实施第i种行(列)变换。

左乘 == 行
右乘 == 列

定理3: 任意A 存在初等矩阵 P1,P2,…,Ps,A,Q1,Q2,…,QtP_1,P_2,\dots,P_s ,A ,Q_1,Q_2,\dots,Q_tP1,P2,,Ps,A,Q1,Q2,,Qt为标准形
推论1:A,B等价存在可逆矩阵 P,Q . PAQ = B

定理4: A可逆 ⟺\Longleftrightarrow A的标准形为E
定理5:A可逆 ⟺A=P1P2…Ps\Longleftrightarrow A=P_1P_2\dots P_sA=P1P2Ps

初等变换求逆矩阵

初等行变换法
(A,E)(E,A−1)(A,E) (E,A^{-1})(A,E)(E,A1)

矩阵的秩
k阶子式

非零子式的最高阶数: 秩
r(0) = 0
1.Am∗n,0≤r(A)≤min{m,n}1.A_{m*n}, 0 \leq r(A) \leq min\{m,n\}1.Amn,0r(A)min{m,n}
满秩{1.若r(A)=m,取所有行,行满秩2.r(A)=n,取所有列,列满秩满秩\begin{cases} 1.若r(A) = m,取所有行,行满秩\\ 2.r(A) = n,取所有列,列满秩 \end{cases}{1.r(A)=m,,2.r(A)=n,,
r(A) < min{m,n} 降秩
A是方阵,A满秩 == A可逆

定理1: r(A) = r 有一个r阶子式不为0, 所有r+1阶为0

阶梯形:
1.若有零行。零行在非零行下面
2.左起首非零元素。左边零的个数随行数增加而严格增加

行简化阶梯形:
是阶梯
1.非零行首非零元是1
2.首非零元所在列的其余元素为0

1.折线判断阶梯
2.标记首非零元素
3.首非零元素列, 除 首非零元 都为零

r(A) = 非零行的行数
初等变换不改变矩阵的秩

性质1:
r(A)=r(AT)r(A) = r(A^T)r(A)=r(AT)

性质2:
矩阵乘以可逆矩阵,秩不变
Am∗n.Pm阶可逆,Qn阶可逆方阵A_{m*n}.P m阶可逆 ,Q n阶可逆方阵Amn.Pm,Qn
r(A) = r(PA) = r(AQ) = r(PAQ)

向量
n个分量
n个数a1,…,an组成的有序数组(a1,a2,…,an)n个数a_1,\dots,a_n组成的有序数组(a_1,a_2,\dots,a_n)na1,,an(a1,a2,,an)
维数

行向量 (写作行)
列向量(写作列)

kα=0⟹k=0 or α=0k\alpha=0 \Longrightarrow k=0 \ or \ \alpha = 0kα=0k=0 or α=0

同维向量

向量间的线性关系
某些个向量表示一个向量

线性组合:β,α1,⋯ ,αn\beta ,\alpha_1,\cdots,\alpha_nβ,α1,,αn,是m维向量
若存在k1,⋯ ,knk_1,\cdots,k_nk1,,kn使得
β=k1α1+⋯+knαn\beta = k_1\alpha_1 + \cdots + k_n\alpha_nβ=k1α1++knαn,成立
β是α的线性组合\beta 是 \alpha 的线性组合βα线,系数可以全取0
组合系数

1.零向量可由任意向量组表示
2.向量组中任一向量,可由向量组表示
3.任一向量可由(1,0,⋯ ,0),(0,1,⋯ ,0),⋯ ,(0,0,⋯ ,1)(1,0,\cdots,0),(0,1,\cdots,0),\cdots,(0,0,\cdots,1)(1,0,,0),(0,1,,0),,(0,0,,1)表示

向量组的等价
同维,两个向量组可以相互表示

1.反射性
2.对称性
3.传递性

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