线性代数

n阶行列式

第一种定义(按行展开) : 行标 取自然排列，  列标取所有可能，不同行不同列取n个元素相乘。符号由
列标排列的 逆序数的奇偶性决定。
第二种定义(按列展开):类似第一种。
第三种定义(既不按行也不按列):符号由 行标排列和列标排列的 逆序数的奇偶性决定。

行列式性质

转置 原来的行变成列 列变成行

$D^T$
(对行成立的性质，对列也成立)
性质1.
$D^T=D$
性质2.
两行互换，值变号。(两行或者两列对应相等 行列式的值为0)
性质4.
某一行都乘以k。等于用k乘以D.(推论：某一行都有公因子，k可以提到外面)
$\left|\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 4k& 5k& 6k\\ 7& 8& 9\end{array}\right|=k\left|\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 4& 5& 6\\ 7& 8& 9\end{array}\right|$

行列式的所有元素，均有公因子k，k外提n次。

性质5. 两行对应成比例 D = 0(推论：某一行全为0，D = 0)
性质6. 是和的那一行分开，其余行不变

$\left|\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 2+7& 8+5& 9+10\\ 4& 5& 6\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 2& 8& 9\\ 4& 5& 6\end{array}\right|+\left|\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 7& 5& 10\\ 4& 5& 6\end{array}\right|$

性质7.某一行乘以一个数，加到另一行上去，D不变
1.先处理第一列，再第二列，...
2.第一列处理完后，不再参与运算
3.某一行乘以x，加到第几行去

余子式
指定某个元素，去掉所在行 和 列，剩余元素 按原来排列好。
$M_{32}$

代数余子式(多了个符号)
$A_{32}=(-1{)}^{(3+2)}|...|$

定理(按某行展开)
$D=a_{i1}{A}_{i1}+a_{i2}{A}_{i2}+...+a_{in}{A}_{in}$

定理(异乘变零定理)
某一行元素与另一行元素的代数余子式之和 = 0

拉普拉斯定理
k阶子式(取m行，取m列，相交的部分)
k阶余子式(剩下的部分)
k阶代数余子式(加符号 第几行第几列 相加)

取定k行，由k行元素组成的所有k阶子式与代数余子式乘积之和=D

说明
$${\left|\begin{array}{cccc}1& 2& 3& 4\\ 5& 6& 7& 8\\ 9& 10& 11& 12\\ 13& 14& 15& 16\end{array}\right|}_4$$

假设取 第1,2行 1,2列
那么
$${\left|\begin{array}{cc}1& 2\\ 5& 6\end{array}\right|}_2就是子式$$

$${\left|\begin{array}{cc}11& 12\\ 15& 16\end{array}\right|}_2就是余子式$$
$$(-1{)}^{1+2+1+2}{\left|\begin{array}{cc}11& 12\\ 15& 16\end{array}\right|}_2就是代数余子式$$
行列式计算
加边法
1.加一行，加一列

范德蒙德行列式
$${\left|\begin{array}{cccccc}1& 1& 1& \cdots & 1& \\ x_1& x_2& x_3& \cdots & x_n& \\ ⋮& ⋮& ⋮& ⋮& ⋮& \\ x_1^{n-1}& x_2^{n-1}& x_3^{n-1}& \cdots & x_n^{n-1}& \end{array}\right|}_n=\prod _{1\le j<i\le n}(x_i-xj)$$

反对称行列式
$a_{ij}=-a_{ji}$
1.主对角线为0
2.上下位置成相反数

$${\left|\begin{array}{cccc}0& 1& 2& 3\\ -1& 0& -5& 6\\ -2& 5& 0& -8\\ -3& -6& 8& 0\end{array}\right|}_4$$
奇数阶 D = 0

对称行列式
$a_{ij}=a_{ji}$

 1.主对角线没有要求
 2.上下位置相等

克莱姆法则
$$\begin{gathered} x_1+x_2+x_3=1 \\ {x}_1-x_2+5x_3=6 \\ -x_1+x_2+6x_3=9 \end{gathered}$$

$$D=\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& -1& 5\\ -1& 1& 6\end{array}\right|D_1=\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 6& -1& 5\\ 9& 1& 6\end{array}\right|D_2=\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& 6& 5\\ -1& 9& 6\end{array}\right|D_3=\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& -1& 6\\ -1& 1& 9\end{array}\right|$$

$1.n个方程,n个未知量,D\ne 0,x_j=\frac{D_j}{D}$
齐次方程组 ，右边都等于0，至少有零解

矩阵
单位阵(主对角线全为1，其他为0，且为方阵)。
零矩阵(全都是零)

加法，减法(同型)，对应元素相加减
$$\left(\begin{array}{lcr}1& 2& 3\\ 4& 5& 6\end{array}\right)+\left(\begin{array}{lcr}4& 5& 6\\ 7& 8& 9\end{array}\right)=\left(\begin{array}{lcr}5& 7& 9\\ 11& 13& 15\end{array}\right)$$
数乘
$$k\left(\begin{array}{lcr}1& 2& 3\\ 4& 5& 6\\ 7& 8& 9\end{array}\right)=\left(\begin{array}{lcr}k& 2k& 3k\\ 4k& 5k& 6k\\ 7k& 8k& 9k\end{array}\right)$$
行列式是只提取一行，而矩阵提取所有。

乘法
一行和列对应相乘再相加，得到aij的值

条件：第一个矩阵的列 = 第二个矩阵的行数
结果行数= 第一个矩阵的列数
结果列数=第二个的列数

七字诀

中间相等取两头

$$\left(\begin{array}{lcr}2& 1& 0\\ 1& 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{lcr}1& 0& 1\\ 0& 1& 1\\ 0& 1& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{lcr}2& 1& 3\\ 1& 1& 2\end{array}\right)$$

1.结合性：(AB)C = A(BC).
2.分配:(A+B)C=AC + BC.
3.k(AB) = (kA)B = A(kB).

AB = BA
A B 可交换(必须是方阵)
$A^{k_1}{A}^{k_2}=A^{k_1+k_2}$
${(A^{k_1})}^{k2}=A^{k_1{k}_2}$

矩阵的转置
$A^T$
转置的性质
$(A^T{)}^T=A$
$(A+B{)}^T=A^T+B^T$
$(kA{)}^T=k{A}^T$
$(AB{)}^T=B^T{A}^T$

特殊矩阵(方阵)
1.数量矩阵
$$\left(\begin{array}{lcrc}a& & & \\ & a& & \\ & & \ddots & \\ & & & a\end{array}\right)=aE$$

2.对角形
$$\left(\begin{array}{lcrc}{a}_1& & & \\ & a_2& & \\ & & \ddots & \\ & & & a_n\end{array}\right)=diag(a_1,a_2,\dots ,a_n)$$

3.上，下三角形,主对角线下面(上面)全是零.

4.对称
$a_{ij}=a_{ji}$
$A^T=A$
定理：A.B对称,AB对称 ⇔ A,B可交换

5.反对称(主对角线全为零)
$a_{ij}=-aji$

逆矩阵
不要把矩阵放在分母上
$A\ast B=B\ast A=E$

方阵的行列式
$$A=\left(\begin{array}{lcr}2& 2& 2\\ 3& 3& 3\\ 1& 1& 1\end{array}\right)$$
$$|A|=\left|\begin{array}{ccc}2& 2& 2\\ 3& 3& 3\\ 1& 1& 1\end{array}\right|$$
性质
1.$|A^T|=|A|$
2.$|kA|=k^n|A|$
3.$|AB|=|A|\ast |B|$

伴随矩阵(只有方阵有)
按行求按列放
1.求所有元素的代数余子式
2.按行求的代数余子式按列放构成伴随矩阵
$A^{\ast }$

定理
$A{A}^{\ast }=A\ast A=|A|E$
$|A^{\ast }|=|A{|}^{n-1}$

逆矩阵:A n阶方阵，存在同阶方阵B,使得 AB = BA = E
$A^{-1}=B$
1.不是所有方阵均可逆。0 0B=B0=0
2.若可逆，逆矩阵唯一。

1.如何判断可逆
2.$A^{-1}=?$
$|A|\ne 0.非奇异，非退化，满秩，可逆$

定理: A 可逆的充要条件 $|A|\ne 0.A^{-1}=\frac{1}{|A|}{A}^{\ast }$

推论: A 是n阶方阵 ,B 是n阶方阵 . AB = E(BA = E) A可逆。$A^{-1}=B$

求$A_{-1}$
1.伴随矩阵法
2.初等变换法

矩阵方程
$$A=\left(\begin{array}{lcr}4& 2& 3\\ 1& 1& 0\\ -1& 2& 3\end{array}\right)$$

$Ax=A+2x$
注意顺序，AB 和 BA 不一定相等
1.$(A-2E)x=A$
$|A-2E|\ne 0$ 可逆
2.$(A-2E{)}^{-1}(A-2E)x=(A-2E{)}^{-1}A$

性质:
1.A可逆 ，$A^{-1}$可逆.${(A^{-1})}^{-1}=A$

2.AB均可逆, $(AB{)}^{-1}=B^{-1}{A}^{-1}$

3.A可逆 ，$A^T$可逆，${(A^T)}^{-1}={(A^{-1})}^T$,$k\ne 0(kA{)}^{-1}=\frac{1}{k}{A}^{-1}$

4.A可逆. $|A^{-1}|=|A{|}^{-1}$

5.A可逆. $A^{\ast }可逆.(A^{\ast }{)}^{-1}=\frac{1}{|A|}A$

$A^{\ast }$
1.按行求，按列放。

2.$A{A}^{\ast }=A^{\ast }A=|A|E$

3.$|A^{\ast }|=|A{|}^{n-1}$

4.$A^{-1}=\frac{1}{|A|}{A}^{\ast }$,$A^{\ast }=|A|A^{-1}$

5.$(A^{\ast }{)}^{\ast }=|A{|}^{n-2}A$

分块矩阵
要求：横线、竖线 到头
按行分，按列分

标准形
从左上角开始的一串1(不断)
$${\left(\begin{array}{lcrccc}1& & & & & \\ & \ddots & & & & \\ & & 1& & & \\ & & & 0& & \\ & & & & \ddots & \\ & & & & & 0\end{array}\right)}_{m\ast n}=\left(\begin{array}{lc}{E}_r& 0_{r\ast (n-r)}\\ 0_{(m-r)\ast r}& 0_{(m-r)\ast (n-r)}\end{array}\right)$$

1.分块加法 (同型)
$$\left(\begin{array}{lc}{A}_1& A_2\\ A_3& A_4\end{array}\right)+\left(\begin{array}{lc}{B}_1& B_2\\ B_3& B_4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{lc}{A}_1+B_1& A_2+B_2\\ A_3+B_3& A_4+B_4\end{array}\right)$$

2.数乘
$$k\left(\begin{array}{lc}{A}_1& A_2\\ A_3& A_4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{lc}k{A}_1& k{A}_2\\ k{A}_3& k{A}_4\end{array}\right)$$

3.乘法
$$\left(\begin{array}{lc}{A}_1& A_2\\ A_3& A_4\end{array}\right)\left(\begin{array}{lc}{B}_1& B_2\\ B_3& B_4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{lc}{A}_1{B}_1+A_2{B}_3& A_1{B}_2+A_2{B}_4\\ A_3{B}_1+A_4{B}_3& A_3{B}_2+A_4{B}_4\end{array}\right)$$

对角形分块矩阵
$$\left(\begin{array}{lcrc}{A}_1& & & \\ & A_2& & \\ & & \ddots & \\ & & & A_n\end{array}\right)$$

分块转置矩阵
$$A=\left(\begin{array}{lcr}{A}_1& A_2& A_3\\ A_4& A_5& A_6\end{array}\right)$$
$$A^T=\left(\begin{array}{lc}{A}_1^T& A_4^T\\ A_2^T& A_5^T\\ A_3^T& A_6^T\end{array}\right)$$
1.把子块当做元素，求转置
2.对每个子块求转置

$$H=\left(\begin{array}{lc}A& C\\ 0& B\end{array}\right)$$
A,B m阶 n阶 可逆

$$H^{-1}=\left(\begin{array}{lc}{A}^{-1}& -A^{-1}C{B}^{-1}\\ 0& B^{-1}\end{array}\right)$$

$${\left(\begin{array}{lcrc}{A}_1& & & \\ & A_2& & \\ & & \ddots & \\ & & & A_n\end{array}\right)}^{-1}=\left(\begin{array}{lcrc}{A}_1^{-1}& & & \\ & A_2^{-1}& & \\ & & \ddots & \\ & & & A_n^{-1}\end{array}\right)$$

初等变换
和行列式区别开

$$初等行变换\{\begin{array}{c}交换两行\\ 用k(k\ne 0)乘某一行\\ 某一行的t倍加到另一行上去\end{array}$$

定理1:任给一个矩阵 都可通过初等变换化为标准形

等价: A 经过初等变换得到B,
1.反射性： A $⟺$ A
2.对称性 : A $⟺$ B ->B $⟺$A
3.传递性：A $⟺$ B ,B $⟺$ C ->A $⟺$ C
任意矩阵都 等价于 标准形

初等方阵
对E做一次初等变换得到的矩阵

1.交换两行. $E(i,j)$
2.用K(k != 0) 乘某行. $E(i(k))$
3.某行l被加到另一行. $E(i,j(k))$

行列式的值不等0 矩阵可逆
初等方阵均可逆

初等左(右)乘想当于对A 实施第i种行(列)变换。

左乘 == 行
右乘 == 列

定理3: 任意A 存在初等矩阵 $P_1,P_2,\dots ,P_s,A,Q_1,Q_2,\dots ,Q_t$为标准形
推论1:A,B等价存在可逆矩阵 P,Q . PAQ = B

定理4: A可逆 $⟺$ A的标准形为E
定理5:A可逆 $⟺A=P_1{P}_2\dots P_s$

初等变换求逆矩阵

初等行变换法
$(A,E)(E,A^{-1})$

矩阵的秩
k阶子式

非零子式的最高阶数: 秩
r(0) = 0
1.Am∗n,0≤r(A)≤min{m,n}1.A_{m*n}, 0 \leq r(A) \leq min\{m,n\}1.Am∗n​,0≤r(A)≤min{m,n}
$满秩\{\begin{array}{l}1.若r(A)=m,取所有行,行满秩\\ 2.r(A)=n,取所有列,列满秩\end{array}$
r(A) < min{m,n} 降秩
A是方阵，A满秩 == A可逆

定理1: r(A) = r 有一个r阶子式不为0, 所有r+1阶为0

阶梯形:
1.若有零行。零行在非零行下面
2.左起首非零元素。左边零的个数随行数增加而严格增加

行简化阶梯形:
是阶梯
1.非零行首非零元是1
2.首非零元所在列的其余元素为0

1.折线判断阶梯
2.标记首非零元素
3.首非零元素列, 除 首非零元 都为零

r(A) = 非零行的行数
初等变换不改变矩阵的秩

性质1:
$r(A)=r(A^T)$

性质2:
矩阵乘以可逆矩阵,秩不变
$A_{m\ast n}.Pm阶可逆,Qn阶可逆方阵$
r(A) = r(PA) = r(AQ) = r(PAQ)

向量
n个分量
$n个数a_1,\dots ,a_n组成的有序数组(a_1,a_2,\dots ,a_n)$
维数

行向量 (写作行)
列向量(写作列)

$k\alpha =0⟹k=0or\alpha =0$

同维向量

向量间的线性关系
某些个向量表示一个向量

线性组合:$\beta ,{\alpha }_1,\cdots ,{\alpha }_n$,是m维向量
若存在$k_1,\cdots ,k_n$使得
$\beta =k_1{\alpha }_1+\cdots +k_n{\alpha }_n$，成立
叫$\beta 是\alpha 的线性组合$，系数可以全取0
组合系数

1.零向量可由任意向量组表示
2.向量组中任一向量,可由向量组表示
3.任一向量可由$(1,0,\cdots ,0),(0,1,\cdots ,0),\cdots ,(0,0,\cdots ,1)$表示

向量组的等价
同维，两个向量组可以相互表示

1.反射性
2.对称性
3.传递性