SVD 分解

转载于 2020-03-28 12:04:38 发布 · 496 阅读

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#线性代数 #矩阵

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本文深入讲解SVD分解(Singular Value Decomposition)的概念及其在图像压缩和降噪中的应用。SVD将矩阵分解为三个矩阵相乘的形式，其中包含单位正交阵和对角阵，用于表示矩阵的旋转和缩放特性。

SVD分解：Singular Value Decomposition，记录点滴。

定义

将矩阵A分解为三个矩阵相乘的形式，其中A为m x n的矩阵，U为m x m 的单位正交阵，V为nxn的单位正交阵， Σ为m x n的对角阵。
$A=U\Sigma V^T$

含义

矩阵的几何意义在于旋转和缩放，U 和 V用来做旋转， Σ用来缩放。
$UU^T=I$ ， $VV^T=I$ , 这两个矩阵都是单位正交阵，不会产生缩放。Σ一般是下面的形式
$\Sigma = \left[ \begin{array}{cccc} \lambda_1 & \cdots &\cdots &\cdots \\ \cdots & \lambda_2 &\cdots &\cdots \\ \cdots &\cdots & \ddots &\cdots \\ \cdots &\cdots &\cdots& \lambda_m \end{array}\right]$
表示常值对向量的缩放。

求解

$AA^T=U\Sigma V^T V \Sigma^T U^T = U\Sigma^2 U^T$
通过对 $AA^T$ 进行特征值分解，即可得到特征向量U，特征值开方可得到Σ。同理根据下式可得V。
$A^TA=V \Sigma^T U^T U\Sigma V^T =V\Sigma^2 V^T$

应用

压缩图像、降噪，取图像矩阵中的重要奇异值进行重构，不重要的奇异值略掉，即实现了降噪或压缩的效果。
参考：
https://www.cnblogs.com/endlesscoding/p/10033527.html
https://www.cnblogs.com/xiaohuahua108/p/6137783.html?utm_source=itdadao&utm_medium=referral