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本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/scutbenson/article/details/83749610

本文介绍了一道组合数学问题的解决思路，利用容斥原理和快速幂算法，求解在给定范围内集合A和B的非空、非包含方案数。详细解析了推导过程，并提供了C++代码实现。

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题目：http://www.gdfzoj.com/oj/contest/472/problems/1

给定n个数1,2,3...n,现在选出2个集合A和B,满足:
1 A和B的交集不得为空
2 A和B不得相互包含(A=B也属于相互包含)
注意: 在这里我们认为: (A,B)和(B,A)是同一种方案
求选出集合A和B的方案数
n<=1e13

来自xbc的方法：

看到这范围一看就是推公式（这点我也想到了。。。但不会推啊啊啊）

对于每个数有4种情况：

1.A 2.B 3.A交B 4.全集U-A并B

题目限制条件可理解为：

1、2、3集合内不能为空

那么利用容斥原理即为：

ans=所有情况 - 至少1个集合空 + 至少2个集合空 - 3个集合全空

很容易推出公式：

ans=4^n - 33^n + 32^n - 1

n很大要用快速幂

对于除2详见：https://blog.youkuaiyun.com/scutbenson/article/details/83750020

代码：

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int value=100000007;

long long ksm(int x,long long y)
{
	long long a1;
	if (y==0)
		return 1;
	if (y==1)
		return x;
	a1=ksm(x,y/2);
	if (y%2==1)
		return (a1*a1*x)%value;
	else
		return (a1*a1)%value;
}

int main()
{
	long long a1,a2,a3,n,ans;
	
	freopen("a.txt","r",stdin);
	scanf("%lld",&n);
	
	a1=ksm(4,n);
	a2=ksm(3,n+1);
	a3=ksm(2,n);
	ans=(a1-a2+3*a3-1)%value;
	if (ans<0)
		ans+=value;
	ans*=50000004;
	printf("%lld\n",ans%value);
	
	
	return 0;
}