gfoj987约数统计

最新推荐文章于 2023-03-31 22:41:02 发布

原创最新推荐文章于 2023-03-31 22:41:02 发布 · 378 阅读

0 ·

CC 4.0 BY-SA版权

本文介绍了一种利用质数筛法高效计算区间内所有整数约数个数之和的方法。针对1≤l,r,k≤10^12的约束条件，通过筛选根号r以内的质数，并利用这些质数去除区间[l,r]内的每个数，来统计约数个数。

题目如上，范围1<=l,r,k<=10^12,r-l<=10^6。。。

q=m1^k1*m2^k2…mn^kn

求q约数个数的公式：tot=(k1+1)*(k2+1)*...(kn+1)

题目要求[l,r]的约数个数和，显然暴力10^12内质数不行

。

那就求根号n以内的质数咯，有没有发现根号n到n的质因数的指数最多是1！！！

于是乎，对于[l,r]内的约数和，我们用质数去除（对于一个质数能除多少除多少），累计其指数即可。对于含大于根号n的质因数的数不就是除完根号n以内质数后剩余没除干净（非1）的数了么？orz

#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <cstring>
using namespace std;

const int maxSize=1000000,Value=998244353;
long long su[maxSize+5];
bool sss[maxSize+5];
int num;
long long ans1[maxSize+5];
long long zbk[maxSize+5];

void shai(int x)
{
	int i,j;
	
	memset(sss,true,sizeof(sss));
	for (i=2;i<=x;i++)
	{
		if (sss[i]==true)
			su[num++]=i;
		for (j=0;j<num;j++)
		{
			if (i*su[j]>x)
				break;
			sss[i*su[j]]=false;
			if (i%su[j]==0)
				break;
		}
	}
	return ;
}

int main()
{
	long long i,l,r,k,begin,end,ans2,sum=0,j;
	
	freopen("a.txt","r",stdin);
	scanf("%lld%lld%lld",&l,&r,&k);
	
	shai(ceil(sqrt(r)));//把根号r内的质数筛出 
	
	for (i=l;i<=r;i++)//ps:下标需向左移 
	{
		zbk[i-l]=i;//记录是否被除干净 
		ans1[i-l]=1;
	}
	for (i=0;i<num;i++)
	{
		begin=l/su[i];	end=r/su[i];//把从 l~r 变成 从 su[i]*begin ~su[i]*end
		if (l%su[i]!=0 || l<su[i])//细节 
			begin++;
		for (j=begin;j<=end;j++)
		{
			ans2=1;
			while (zbk[j*su[i]-l]%su[i]==0)
			{
				zbk[j*su[i]-l]/=su[i];
				ans2+=k;
			}
			ans1[j*su[i]-l]=(ans1[j*su[i]-l]*ans2)%Value;
		}
	}
	for (i=l;i<=r;i++)
	{
		if (zbk[i-l]!=1)//没除干净则代表有大于根号i的质因数（且只有1个） 
			ans1[i-l]=(ans1[i-l]*(1+k))%Value;
		sum=(sum+ans1[i-l])%Value;
	}
	printf("%lld",sum);
	
	return 0;
}