欧几里得扩展算法

欧几里得扩展算法

我的理解能力实在欠佳，欧几里德算法老早就已经消化在肚子里了，但是却花了我两天的时间去理解扩展的欧几里德算法。在这里我把自己对扩展欧几里德的想法写在下面，以备不时之需~

     首先扩展欧几里德主要是用来与求解线性方程相关的问题，所以我们从一个线性方程开始分析。现在假设这个线性方程为a*x+b*y=m，如果这个线性方程有 解，那么一定有gcd(a,b) | m，即a，b的最大公约数能够整除m(m%gcd(a,b)==0)。证明很简单，由于a%gcd(a,b)==b%gcd(a,b)==0，所以 a*x+b*y肯定能够整除gcd(a,b)，如果线性方程成立，那么就可以用m代替a*x+b*y，从而得到上面的结论，利用上面的结论就可以用来判断 一个线性方程是否有解。

      那么在a*x+b*y=m这个线性方程成立的情况下，如何来求解x和y呢？

      1.令a1=a/gcd(a,b)，b1=b/gcd(a,b)，m1=m/gcd(a,b)。如果我们能够首先求出满足 a*x1+b*y1=gcd(a,b)这个方程的x1和y1，那么x=x1*m1,y=y1*m1就可以求出来了。由欧几里德算法 gcd(a,b)=gcd(b,a%b)，所以a*x1+b*y1=gcd(a,b)=gcd(b,a%b)=b*x2+(a%b)*y2，现在只要做一 些变形就可以得到扩展欧几里德算法中的用到的式子了。令k=a/b(商)，r=a%b(余数)，那么a=k*b+r。所以r=a-k*b，带入上式，得到 a*x1+b*y1=b*x2+(a-(a/b)*b)y2=a*y2+b*(x2-(a/b)*y2) => x1=y2，y1=x2-(a/b)*y2。有了这两个式子我们就知道了在用欧几里德求最大公约数的时候，相应的参数x，y的变化。现在再回过头来看一下 扩展欧几里德算法的代码就很好理解了，实际上扩展欧几里德就是在求a和b的最大公约数的同时，也将满足方程a*x1+b*y1=gcd(a,b)的一组 x1和y1的值求了出来。下面代码中突出的部分就是标准的欧几里德算法的代码。

__int64 exGcd(__int64 a,__int64 b,__int64 &x,__int64 &y){
    if(b==0){
        x=1;
        y=0;
        return a;
    }
    __int64 g=exGcd(b,a%b,x,y);
    __int64 temp=x;
    x=y;
    y=temp-(a/b)*y;
    return g;
}

     2.那么x，y的一组解就是x1*m1，y1*m1，但是由于满足方程的解无穷多个，在实际的解题中一般都会去求解x或是y的最小正数的值。以求x为例， 又该如何求解呢？还是从方程入手，现在的x，y已经满足a*x+b*y=m，那么a*(x+n*b)+b*(y-n*a)=m显然也是成立的。可以得出 x+n*b(n=…，-2，-1，0，1，2，…)就是方程的所有x解的集合，由于每一个x都肯定有一个y和其对应，所以在求解x的时候可以不考虑y的取 值。取k使得x+k*b>0，x的最小正数值就应该是(x+k*b)%b，但是这个值真的是最小的吗？？如果我们将方程最有两边同时除以 gcd(a,b)，则方程变为a1*x+b1*y=m1，同上面的分析可知，此时的最小值应该为(x+k*b1)%b1，由于b1<=b，所以这个 值一定会小于等于之前的值。在实际的求解过程中一般都是用while(x<0)x+=b1来使得为正的条件满足，为了更快的退出循环，可以将b1改 为b(b是b1的倍数)，并将b乘以一个倍数后再加到x上。

 

PS:在求x的最小正数的时候采用while(x<0)x+=b在时间上有的时候是很不理想的，有其实x，b都很小的情况下。
实际上只要用通过x=(x%b1+b1)%b1就可以了，因为负数取余相当于正数取余再加个负号