POJ 1845 Sumdiv (快速分解因式+快速幂取模)_因式分解快速幂’-优快云博客

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题目地址：POJ 1845

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大致题意：

求A^B的所有约数（即因子）之和，并对其取模 9901再输出。

解题思路：

要求有较强数学思维的题

应用定理主要有三个：

要求有较强数学思维的题

应用定理主要有三个：

（1）整数的唯一分解定理：

任意正整数都有且只有一种方式写出其素因子的乘积表达式。

A=(p1^k1)*(p2^k2)*(p3^k3)*....*(pn^kn) 其中pi均为素数

（2）约数和公式：

对于已经分解的整数A=(p1^k1)*(p2^k2)*(p3^k3)*....*(pn^kn)

有A的所有因子之和为

S = (1+p1+p1^2+p1^3+...p1^k1) * (1+p2+p2^2+p2^3+….p2^k2) * (1+p3+ p3^3+…+ p3^k3) * .... * (1+pn+pn^2+pn^3+...pn^kn)

（3）同余模公式：

(a+b)%m=(a%m+b%m)%m

(a*b)%m=(a%m*b%m)%m

有了上面的数学基础，那么本题解法就很简单了：

1: 对A进行素因子分解

分解A的方法：

A首先对第一个素数2不断取模，A%2==0时，记录2出现的次数+1，A/=2；

当A%2!=0时，则A对下一个连续素数3不断取模...

以此类推，直到A==1为止。

注意特殊判定，当A本身就是素数时，无法分解，它自己就是其本身的素数分解式。

最后得到A = p1^k1 * p2^k2 * p3^k3 *...* pn^kn.
故 A^B = p1^(k1*B) * p2^(k2*B) *...* pn^(kn*B);

2：A^B的所有约数之和为：

sum = [1+p1+p1^2+...+p1^(a1*B)] * [1+p2+p2^2+...+p2^(a2*B)] *...* [1+pn+pn^2+...+pn^(an*B)].

3: 用递归二分求等比数列1+pi+pi^2+pi^3+...+pi^n：

（1）若n为奇数,一共有偶数项，则：
1 + p + p^2 + p^3 +...+ p^n

= (1+p^(n/2+1)) + p * (1+p^(n/2+1)) +...+ p^(n/2) * (1+p^(n/2+1))
= (1 + p + p^2 +...+ p^(n/2)) * (1 + p^(n/2+1))

上式红色加粗的前半部分恰好就是原式的一半，那么只需要不断递归二分求和就可以了，后半部分为幂次式，将在下面第4点讲述计算方法。

（2）若n为偶数,一共有奇数项,则:
1 + p + p^2 + p^3 +...+ p^n

= (1+p^(n/2+1)) + p * (1+p^(n/2+1)) +...+ p^(n/2-1) * (1+p^(n/2+1)) + p^(n/2)
= (1 + p + p^2 +...+ p^(n/2-1)) * (1+p^(n/2+1)) + p^(n/2);

上式红色加粗的前半部分恰好就是原式的一半，依然递归求解

4：反复平方法计算幂次式p^n

这是本题关键所在，求n次幂方法的好坏，决定了本题是否TLE。

以p=2，n=8为例

常规是通过连乘法求幂，即2^8=2*2*2*2*2*2*2*2

这样做的要做8次乘法

而反复平方法则不同，

定义幂sq=1，再检查n是否大于0，

While，循环过程若发现n为奇数，则把此时的p值乘到sq

{

n=8>0 ，把p自乘一次， p=p*p=4 ，n取半 n=4

n=4>0 ，再把p自乘一次， p=p*p=16 ，n取半 n=2

n=2>0 ，再把p自乘一次， p=p*p=256 ，n取半 n=1，sq=sq*p

n=1>0 ，再把p自乘一次， p=p*p=256^2 ，n取半 n=0，弹出循环

}

则sq=256就是所求，显然反复平方法只做了3次乘法

鄙人代码如下：

#include <iostream>
#include <string.h>
#include <math.h>
#include <queue>
#include <algorithm>
#include <stdlib.h>
#include <map>
#include <set>
#include <stdio.h>
using namespace std;
#define LL __int64
#define pi acos(-1.0)
const int mod=9901;
const int INF=0x3f3f3f3f;
const double eqs=1e-8;
LL p[1000], k[1000], cnt;
LL Pow(LL n, LL m)
{
        LL ans=1;
        while(m>0) {
                if(m&1)
                        ans=ans*n%mod;
                m>>= 1;
                n=n*n%mod;
        }
        return ans;
}
void split(LL a)
{
        cnt=0;
        memset(k,0,sizeof(k));
        for(int i=2; i*i<=a; i++) {
                if(a%i==0) {
                        p[cnt]=i;
                        while(a%i==0) {
                                k[cnt]++;
                                a/=i;
                        }
                        cnt++;
                }
        }
        if(a>1) {
                p[cnt]=a;
                k[cnt]=1;
                cnt++;
        }
}
LL sum(LL pp, LL kk)
{
        LL ans=0;
        if(!kk) return 1;
        if(kk==1) return pp;
        if(kk&1){
                ans=Pow(pp,kk);
        }
        ans+=(1+Pow(pp,kk>>1))*sum(pp,kk>>1)%mod;
        return ans%mod;
}
int main()
{
        LL a, b;
        LL ans;
        while(scanf("%I64d%I64d",&a,&b)!=EOF) {
                if(!a){
                        printf("0\n");
                        continue ;
                }
                if(!b){
                        printf("1\n");
                        continue ;
                }
                split(a);
                ans=1;
                for(int i=0; i<cnt; i++) {
                        ans*=(1+sum(p[i],k[i]*b))%mod;
                        ans%=mod;
                }
                printf("%I64d\n",ans);
        }
        return 0;
}