codeforces #185 A Plant（矩阵快速幂+递推）_codeforces185aplant-优快云博客

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/scf0920/article/details/39377989

本文介绍如何通过构建矩阵并运用矩阵快速幂技术解决Codeforces平台上的一个递归问题。详细阐述了从观察图形结构到构建矩阵、求解矩阵幂的过程，并提供了优化代码实现。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目地址：http://codeforces.com/problemset/problem/185/A

通过这个题终于找回了点找递推公式的信心。。TAT。。

不过真心感觉CF的题目质量都真不错。。。

首先，第n个图形的上方，左下方，右下方的三个大三角形是跟第n-1个是一模一样的，所以是3*f(n-1)。

然后只剩下中间一个倒着的大三角形了，这时可以注意到，其实也跟第n-1个一模一样，只不过上下颠倒过来了，那这里的正着的三角形数就相当于是原来的倒三角形数。

而原来的倒着的三角形数可以用总的减去f(n-1)。而总的是1+2+3+...+2*(n-1)==4^(n-1)。再设g(n)，让g(n)=4^(n-1).

那么就把问题转换成了构造一个矩阵A使得

f(n-1) f(n)

A * { } = { };

g(n-1) g(n)

这个矩阵A很容易构造出来。

2,1

0,4

然后用矩阵快速幂求出来即可。

代码如下：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <string>
#include <cstring>
#include <stdlib.h>
#include <math.h>
#include <ctype.h>
#include <queue>
#include <map>
#include <set>
#include <algorithm>

using namespace std;
#define LL __int64
const int mod=1e9+7;
struct matrix
{
    LL ma[3][3];
}init, res;
matrix Mult(matrix x, matrix y)
{
    matrix tmp;
    int i, j, k;
    for(i=0;i<2;i++)
    {
        for(j=0;j<2;j++)
        {
            tmp.ma[i][j]=0;
            for(k=0;k<2;k++)
            {
                tmp.ma[i][j]=(tmp.ma[i][j]+x.ma[i][k]*y.ma[k][j])%mod;
            }
        }
    }
    return tmp;
}
matrix Pow(matrix x, LL k)
{
    matrix tmp;
    int i, j;
    for(i=0;i<2;i++) for(j=0;j<2;j++) tmp.ma[i][j]=(i==j);
    while(k)
    {
        if(k&1) tmp=Mult(tmp,x);
        x=Mult(x,x);
        k>>=1;
    }
    return tmp;
}
int main()
{
    int i, j;
    LL k;
    while(scanf("%I64d",&k)!=EOF)
    {
        init.ma[0][0]=2;
        init.ma[0][1]=1;
        init.ma[1][0]=0;
        init.ma[1][1]=4;
        res=Pow(init,k);
        LL ans=(res.ma[0][0]+res.ma[0][1])%mod;
        printf("%I64d\n",ans);
    }
    return 0;
}